Цилиндрические функции
1.10 Асимптотическое представление при больших значениях аргумента
Полученное в конце последнего параграфа интегральное представление Бесселевой функции дает возможность получить весьма важную для ее изучения формулу.
Путь к этому состоит в разложении величины по степеням t и в почленном интегрировании получающихся интегралов. При этом однако приходится принять во внимание, что ряд для разложения величины для значений t, превосходящих 2, расходящийся. В силу этого следует применить для разложения величины формулу Тэйлора с остаточным членом и изучить интегралы отдельных слагаемых.
С помощью известной формулы:
можно получить
Преобразовав коэффициенты с помощью формул теории Гамма-
функций, а интеграл с помощью подстановки t = x, получаем:
Заменяя здесь n на , x на находим:
При этом для краткости положено
Подставляя величину , выраженную с помощью равенства (4) в первый интеграл формулы (8) § 9, находим равенство:
В последнем интеграле, если , оказывается, что модуль величины
меньше единицы и поэтому
В равенстве (6) примем по внимание последнее неравенство, а также формулу теории Гамма-функции:
После этого равенство (6), если в нем для краткости обозначить левую часть через А, получает вид:
При этом означает величину, меньшую по абсолютной величине, чем единица. Кроме того можно еще написать в явном виде получившееся отношение Гамма-функции, а именно находим:
Для величины второго слагаемого в формуле (8) § 9 можно провести подобные же вычисления. Если обозначить это слагаемое через В, то окажется:
Складывая (7) и (8) и упрощая результат с помощью формул Эйлера для мнимых показателей, получим окончательно:
Здесь для краткости введено обозначение:
Формула (9) доказана здесь для вещественного х. Следуя тем же путем, она может быть доказана при любом комплексном значении х, удовлетворяющем условию: . При этом однако оценка остаточного члена будет не такая удобная -- величина 0, меньшая единицы по абсолютному значению, должна быть заменена другой величиной, верхний предел модуля которой будет все же меньше некоторой постоянной, величина которой связана с величиной аргумента х.
Формула (9) имеет крайне важное значение. При больших значениях х представление в виде ряда по возрастающим степеням х весьма неудобно -- в этом случае величина сама мала, а ряд состоит из слагаемых разного знака. Величина некоторых из этих слагаемых весьма велика. Таким образом при большом х ряд
представляет величину самым невыгодным способом -- ряд медленно сходится и представляет малую величину в виде разности больших. Представление по формуле (9) как раз при больших х очень хорошо, так как слагаемые сумм
и
быстро убывают по мере удаления от начала, в виду наличия в них больших знаменателей. Если в формуле (9) ограничиться только первыми слагаемыми, то она принимает вид:
Эта формула верна с точностью до величины порядка . Из нее видно, что график функции вдали от начала координат имеет вид затухающей волны почти постоянной длины. Корни функции при больших значениях х близки к корням функции
Следует заметить, что при выводе было сделано ограничение относительно n -- предполагалось, что n Некоторым видоизменением предыдущего вывода можно показать, что это ограничение несущественно -- формула остается в силе при любых n.