2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть р - конечномерное представление *-алгебры А. Тогда р = р₁…..р_n , где р_i неприводимы.

Доказательство. Если dimр = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimр = q и что наше предложение доказано при dimр<q. Если р неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае р = рґ рґґ, причем dimрґ<q, dimрґґ<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение р = р₁…..р_n не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть с₁, с₂ - два неприводимых подпредставления р. Им отвечают инвариантные подпространства Н₁ и Н₂. Пусть Р₁ и Р₂ - проекторы Н на Н₁ и Н₂. Они коммутируют с р(А). Поэтому ограничение Р₂ на Н₁ есть оператор, сплетающий с₁ и с₂. Следовательно, если Н₁ и Н₂ не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что с₁ и с₂ эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление р эквивалентно одному из р_i . Итак, перегруп-
пировав р_i , получаем, что р = н₁…..н_m, где каждое н_i есть кратное с_iн_iґ неприводимого представления н_iґ, и н_iґ попарно эквивалентны. Если с - неприводимое представление р, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Нґ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н_i, отвечающих н_i, кроме одного. Поэтому Нґ содержится в одном из Н_i. Это доказывает, что каждое пространство Н_i определяется однозначно: Н_i - это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений р, эквивалентных н_iґ. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении р = с₁н₁ґ…..с_mн_mґ представления р, (где н₁ґ,…, н_mґ неприводимы и неэквивалентны) целые числа с_i и классы представлений н_iґ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ШВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т₁, Т₂ - борелевские пространства. Отображение f: Т₁?Т₂ называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т₂ есть борелевское множество в Т₁.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т - борелевское пространство и м - положительная мера на Т.

Определение 2.9. м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара е = ((H(t))_tT, Г), где (H(t))_tT - семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г - множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г - векторное подпространство Н(t);

(ii) существует последовательность (х₁, х₂,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы х_n(t) образуют последовательность H(t);

(iii) для любого хГ функция t?||x(t)|| м - измерима;

(iv) пусть х - векторное поле; если для любого yГ функция t?(x(t), y(t)) м - измерима, то хГ.

Пусть е = ((H(t))_tT, Г) м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||² dм(t) < +8.

Если х, y - с интегрируемым квадратом, то х+y и лх (лС) - тоже и функция t ?(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dм(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dм(t).

Определение 2.10. Пусть е = ((H(t))_tT, Г) - измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t?S(t)x(t) измеримо, то t?S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т - борелевское пространство, м - положительная мера на Т, t?Н(t) - м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление р(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t?р(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t?р(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t?р(t)х измеримо.

Если поле представлений t?р(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор р(х)=р(t) (x) dм(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dм(t).

Теорема 2.9. Отображение х>р(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

р(х+y) = р(t) (x+y) dм(t) = (р(t) (x) + р(t) (y)) dм(t) =р(t) (x )dм(t) +

+р(t) (y) dм(t) = р(х) +р(y)

Аналогично р(лх) = лр(х), р(хy) = р(х) р(y), р(х*)=р(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях р называется прямым интегралом р(t) и обозначается р =р(t) dм(t).

Определение 2.13. Операторное поле t>ц(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dм(t).

Пусть е = ((H(t))_tT, Г) - м-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, м₁ - мера на Т, эквивалентная м (то есть каждая из мер м₁, м абсолютно непрерывна по другой), и с(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dм(t) составляет поле t>с(t^)-1/2х(t)Н₁=Н(t) dм₁(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н₁, называемый каноническим.

Действительно,

||с(t^)-1/2х(t)dм₁(t)||² = ||х(t)||²с(t^)-1 dм₁(t) = ||х(t)||²dм₁(t) = ||х(t)||²

Теорема 2.10. Пусть Т - борелевское пространство, м - мера на Т, t?Н(t) - измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t?р(t) - измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dм(t) , р₁==р(t )dм(t),

Д - алгебра диагональных операторов в Н. Пусть м₁ - мера на Т, эквивалентная м,

Н₁ =Н(t) dм₁(t) , р₁ =р(t) dм₁(t),

Д₁ - алгебра диагональных операторов в Н₁. Тогда канонический изоморфизм преобразует р в р₁ и Д в Д₁.

Доказательство. Пусть с(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н₁ есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dм(t)Н в

Ux = с^-1/2х(t) dм₁(t).

Пусть б А. Имеем