Численное интегрирование функций

контрольная работа

2. Квадратурные формулы

Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х0 = а, х1 = a + h, ..., xn= b отметим ординаты y0, y1,…, yn кривой f(x), т.е. вычислим уi = f(xi), xi = a+ ih = xi-1+ h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и yi, где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников:

. (3)

Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f(x) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h, что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:

. (4)

Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f(x), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2):

. (5)

Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.

Рис. 1

Рис. 2

Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале [xi-1, xi] длины h точки с координатами (xi-1, yi-1) и (xi, yi) соединяются отрезком (рис. 3). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h(yi-1 + yi). Суммируя площади элементарных трапеций для i = получим приближенное значение интеграла:

. (6)

Рис. 3.

Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной . На каждом отрезке [xi, xi+2] подынтегральную функцию f(х) заменим параболой, проходящей через точки (xi, yi), (xi+1, yi+1), (xi+2, yi+2). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона:

. (7)

При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:

Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.

Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом:

где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n. При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:

Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно.

Делись добром ;)