1.2 Исходные данные
N |
f(t,y) |
t0 |
T |
y0 |
|
1.4 |
0 |
1 |
1 |
1.3 Решение поставленной задачи
1) Задача Коши: y(t)=, t0=0, T=1, y0=1.
Исходные данные:
Начальное значение:
Концы отрезка:
Шаг сетки:
Число узлов сетки:
2) Функция, реализующая явный метод Эйлера, возвращает вектор решения:
Входные параметры:
f - функция правой части;
y0 - начальное значение;
t0 - начальная точка отрезка;
h - шаг сетки;
N - число узлов сетки.
3) Приближенное решение задачи Коши с шагом h=0.1 по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности с помощью встроенной функции rkfixed пакета MATHCAD.
Функция rkfixed возвращает матрицу, первый столбец которой содержит узлы сетки, а второй - приближенное решение в этих узлах.
4) Аналитическое решение задачи:
,
,
,
= ,
,
По методу вариации произвольной постоянной заменим постоянную С на функцию C(t) и решим неоднородное уравнение:
Подставляем в исходное уравнение:
=,
,
Решение в MathCad:
5) Решения, полученные различными способами:
Метод Эйлера:
Метод Рунге-Кутты:
Точное решение:
Графики приближенных и точного решений:
6) Рассчитаем погрешность полученных приближенных решений:
Погрешность метода Эйлера:
Вычисление погрешности по правилу Рунге:
Вычисление приближенных решений с шагом h/2:
Вычисление погрешностей:
Значение погрешностей:
7) Проведём серию вычислений решения по методу Эйлера, дробя шаг h пополам.
Первая итерация:
Вторая итерация:
Третья итерация:
И т.д.
Девятая итерация:
При значении шага hd=h/1024=0.1/1024=0,0000977 решение, полученное по методу Эйлера, будет иметь примерно такую же погрешность, как и решение, полученное с помощью метода Рунге-Кутты с шагом h=0.1.
Погрешность решения по методу Эйлера с шагом hd=0,0000977 :
Погрешность решения по методу Рунге-Кутты с шагом h=0.1 :
Вывод: явный метод Эйлера - это численный метод 1-го порядка точности. Метод Рунге-Кутты - это метод 4-го порядка точности. Это означает, что при одном и том же значении шага, метод Рунге-Кутты даёт более точное значение. Поэтому погрешности методов сильно (на несколько порядков) отличаются. В рассмотренном выше примере с помощью метода Рунге-Кутты было получено решение, которое совпадает с решением, полученным аналитическим путём.
2. Задача № 2 (2.2)
2.1 Постановка задачи
Задача Коши для ОДУ 2 порядка
,
описывает движение груза массы m, подвешенного к концу пружины. Здесь x(t) - смещение груза от положения равновесия, H - константа, характеризующая силу сопротивления среды, k -коэффициент упругости пружины, f(t) - внешняя сила. Начальные условия: - смещение груза в начальный момент времени t=0, - скорость груза в начальный момент времени. Промоделировать движение груза на временном отрезке [0,T] при заданных в индивидуальном варианте трех наборах (I, II, III) значений параметров задачи. Для каждого набора по найденной таблице (или графику) решения задачи определить максимальное и минимальное значения функции x(t) и моменты времени, в которые эти значения достигаются. Предложить свой вариант задания параметров, при которых характер колебаний груза существенно отличается от рассмотренного ранее.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
1. Заменить исходную задачу эквивалентной задачей Коши для системы ОДУ 1 порядка:
(2)
2. Для каждого варианта выбора параметров решить задачу (2) с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка точности с шагом h=0.1.
3. Для каждого варианта выбора параметров построить график найденного решения. Сравнить характер движения груза и дать интерпретацию полученного движения.
4. Для каждого варианта выбора параметров определить требуемые в задаче характеристики.
УКАЗАНИЕ. В п. 2 использовать встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD (см. ПРИЛОЖЕНИЕ B).
- 4.2.Численные методы решения задачи Коши.
- 6.1.1 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Численное решение задачи Коши.
- 4.2 Численные методы решения задачи Коши
- §22. Понятие о численном решении задачи Коши.
- Численное решение задачи Коши.
- Понятие о численном решении задачи Коши.
- 4.2 Численные методы решения задачи Коши
- Понятие о численном решении задачи Коши.