Численное решение задачи Коши

контрольная работа

2.3 Решение поставленной задачи

1 набор.

Исходные данные:

Шаг сетки:

Число узлов сетки:

Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:

График решения:

Найдем максимальное и минимальное значения функции x(t):

Минимальное значение достигается в момент времени 18.4.

Максимальное значение достигается в момент времени 15.3.

Из графика видно, что при данном наборе значений груз совершает незатухающие колебания.

2 набор.

Исходные данные:

Шаг сетки:

Число узлов сетки:

Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:

График решения:

Минимальное значение функции достигается в момент времени 0.8.

Максимальное значение функции достигается в момент времени 3.9.

При данном наборе значений происходит затухание колебаний - груз останавливается.

3 набор.

Исходные данные:

Шаг сетки:

Число узлов сетки:

Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:

График решения:

Минимальное значение функции достигается в момент времени 0.8.

Максимальное значение функции достигается в момент времени 3.9.

При данном наборе значений, как и в первом случае, груз совершает незатухающие колебания.

Свой вариант задания параметров:

Исходные данные:

Шаг сетки:

Число узлов сетки:

Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:

График решения:

Минимальное значение функции x(t) достигается в момент времени 0.5.

Максимальное значение функции x(t) достигается в момент времени 0.1.

Набор параметров подобран таким образом, что затухающие колебания происходят подобно математическому маятнику - сопротивление среды останавливает со временем движение груза, происходящее по гармоническому закону.

Вывод: дифференциальные уравнения второго порядка - часто используемый способ описания движения. Численное решение этих дифференциальных уравнений порой единственный способ нахождения закона движения.

3. Задача № 3 (6.2)

3.1 Постановка задачи

Даны две задачи Коши для систем ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами на отрезке

[0, 1]

,

,

где A и B - заданные матрицы, - заданные векторы. Выяснить, какая из задач является жесткой.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Составить программу-функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами по явному методу Эйлера. Используя составленную программу, решить обе задачи с шагом h=0.01. Определить, для какой из задач явный метод неустойчив при данном шаге h.

2. Используя встроенную функцию eigenvals(M) (M - матрица) пакета MATHCAD для нахождения собственных чисел матриц A и B, найти коэффициенты жесткости обеих систем. Какая из задач является жесткой?

3. Для жесткой задачи теоретически оценить шаг h*, при котором явный метод Эйлера будет устойчив (см. ПРИЛОЖЕНИЕ C).

4. Составить программу-функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами по неявному методу Эйлера. Используя составленную программу, найти решение жесткой задачи с шагом h=0.01. Построить графики компонент полученного решения.

5. Для жесткой задачи экспериментально подобрать шаг h, при котором графики компонент решения, полученного по явному методу Эйлера, визуально совпадают с графиками компонент решения, полученного по неявному методу с шагом h=0.01. Сравнить найденное значение шага

с шагом h*. Объяснить различие поведения явного и неявного методов Эйлера при решении жесткой задачи.

УКАЗАНИЕ. В п. 4 для решения системы линейных уравнений удобно использовать встроенную функцию lsolve пакета MATHCAD.

3.2 Исходные данные

N

A

B

6.2

-17.359 -0.573

5.366 -21.351

2

1

-64.712 -85.344

-128.964 -170.918

1

0

Делись добром ;)