Геометрія Лобачевського

курсовая работа

Вступ

Легче остановить Солнце, легче двинуть Землю,

чем уменьшить сумму углов в треугольнике,

свести параллели к схождению, и раздвинуть

перпендикуляры к прямой на расстояние.

В.Ф. Каган

геометрія лобачевський фрідманський гордон

У третьому столітті до нашої ери, в Олександрії зявився рукопис «Начала» Евкліда, в якому геометрія викладалася в строго систематичному вигляді. В основу побудови Евкліда покладено ряд первинних тверджень (аксіом), які не доводяться. Всі інші твердження (теореми) виводяться з аксіом логічно. Серед всіх аксіом Евкліда виділяється «аксіома про паралельні»: Дві прямі a і b, перетнуті третьою, перетинаються між собою з тієї сторони, де сума внутрішніх односторонніх кутів і менше суми двох прямих кутів (мал. 1).

Мал. 1

Припустимо, для простоти, що кут прямий (мал. 2). Через точку В можна провести в правій півплощині різні промені, що перетинають пряму а. При обертанні проти годинникової стрілки ми зустрінемо перший з непересічних променів; він називається паралельним прямій а; кут, який цей промінь утворює з променем ВА, називається кутом паралелізму. Пряма b, що містить такий промінь, теж називається паралельною а.

Мал. 2

Все сказане справедливе незалежно від аксіоми Евкліда, яка стверджує, що кут паралелізму - прямий, так що при (d - позначення величини прямого кута.) промінь b перетинає пряму а. Якщо ми не приймемо цієї аксіоми, то нам доведеться обмежитися більш загальним і менш певним твердженням, що кут паралелізму не перевершує d. На цьому припущенні й засновує Лобачевський свої подальші міркування.

Якщо = d, то аксіома Евкліда виконується, і з неї випливають всі властивості звичайної геометрії - евклідової. Якщо ж , то з цього припущення випливають зовсім інші наслідки, які складають зміст нової геометрії Лобачевського, яку він називає «уявною», а ми тепер називаємо геометрією Лобачевського.

Багато теорем «уявної» геометрії, до яких при цьому приходить Лобачевський, явно суперечать нашим звичним уявленням, і потрібна була велика сила думки, щоб не прийняти ці протиріччя за логічні. Лобачевський володів цією силою і розвинув свою геометрію з великою повнотою, завершивши її побудову своєрідною тригонометрію (яку прийнято тепер називати гіперболічною).

Важливим розділом геометрії Лобачевського є вчення про суму кутів трикутника. Розглянемо трикутник ABC (мал. 3), і будемо обертати пряму BC (b) проти годинникової стрілки навколо точки В. Якщо ми не приймаємо аксіоми Евкліда, то повинні припустити, що пряма b «відхиляється» від прямої а й стане паралельною їй ще перш, ніж сума кутів стане рівною 2d. З іншого боку, легко показати, що при обертанні прямої b величина кута при точці С прямує до нуля. Звідси випливає, що при деякому положенні прямої b сума кутів буде менша 2d. Можна показати також, що нерівність справедлива для будь-якого трикутника, так що в геометрії Лобачевського сума внутрішніх кутів трикутника менша двох прямих.

Розглядаючи число, , яке називається дефектом трикутника, Лобачевський виводить наступну чудову формулу:

, (1)

де S - площа трикутника, a R - число, однакове для всіх трикутників. Величину R, що має розмірність довжини, називають радіусом кривини простору Лобачевського, а величину - кривиною цього простору. У просторі Евкліда , і його кривина вважається рівною нулю.

Радіус кривини використовується у всіх формулах гіперболічної тригонометрії. Так, наприклад, має місце формула

, (2)

в якій - кут паралелізму (мал. 2),

-«стрілка», - довжина перпендикуляра АВ.

Варто тепер припустити, що , тобто що кривина дорівнює нулю, і ми отримаємо

а це означає, що кут паралелізму - прямий, - твердження, рівносильне аксіомі Евкліда. Ось чому Лобачевський вважав, що евклідова геометрія є «граничним» випадком його «уявної» геометрії. Формули (1) і (2) показують, що відмінності між евклідовою і неевклідовою геометріями тим менші, чим більший радіус кривини простору. З іншого боку, ці відмінності будуть, насамперед, позначатися на фігурах великих розмірів: так, для трикутника ці відмінності збільшуються разом з його площею, а для паралельних прямих - разом з зростанням «стрілки» (Звідси випливає, що в геометрії Лобачевського не існує подібних фігур).

Ідеї Лобачевського не зустріли розуміння серед його сучасників. Тільки великий німецький математик Гаусс оцінив з гідністю, але він писав про це своїм друзям в приватних листах, які були опубліковані після смерті Лобачевського. У Росії твори Лобачевського зустрічали тільки грубі негативні відгуки і навіть образливі глузування. Лише один математик, товариш Лобачевського по кафедрі, казанський професор П. І. Котельников зважився в публічній промові вимовити пророчі слова: «Праця Лобачевського рано чи пізно знайде своїх поціновувачів».

Таким чином, виявилося, що в евклідовому просторі можна побудувати модель площини Лобачевського; цей факт і розсіяв сумніви в несуперечності неевклідової геометрії і швидко привів її до загального визнання.

Інтерес, викликаний знайомством з ідеями Лобачевського, мав важливі наслідки. З 70-х років минулого століття почали інтенсивно розроблятися проблеми підстав геометрії. До початку нашого століття були побудовані цілком строгі виклади цієї науки (Д. Гільберт, В.Ф. Каган), і почалася робота з обгрунтування арифметики, теорії множин, теорії ймовірностей і логіки, яка продовжується і в даний час. В останні десятиліття ця робота стала досить актуальною, отримавши додатки до теорії математичних машин.

Делись добром ;)