Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных

курсовая работа

6.2 Тензорные поля на поверхности

В каждом касательном пространстве Tx(M), x M зададим тензор типа (p, q) с координатами

(64)

Соответственно, если в наборе функций (64) положить , где -любая фиксированная точка поверхности M, то мы получим набор чисел , задающий координаты тензора в касательном пространстве .

Функция

,

которая каждой точке x M ставит в соответствие тензор типа (p,q) в пространстве Tx(M), называется тензорным полем на поверхности M. Пространство таких функций мы обозначим через T(p, q, M).

Так тензор типа (0,0) - это скалярная функция f : M >R. Вместо слова "тензорное поле "мы иногда будем просто говорить "тензор".

К элементам пространства T(p, q, M) применимы все операции, которые рассматриваются в алгебраической теории тензоров (тензорное произведение, свертка и т. д.) [8].

В частности, при переходе от координат x к координатам x на поверхности M, координаты тензора типа (p, q) преобразуются следующим образом:

,

где в силу формул и получим:

, ,

, .

Однако, так как элементы пространства T(p, q, M) являются функциями точки x M, то кроме алгебраических операций, к ним применимы операции анализа, к изучению которых мы и переходим.[5]

7. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Делись добром ;)