Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
1.4 Численное решение уравнения методом Эйлера в Excel
Рассмотрим расчетную таблицу в Excel, содержащую три столбца для значений . Дадим им заголовки x, y, , расположив их в ячейках A2:C2. Для постоянных величин h, c отведем отдельные ячейки E2 и E3. Их заголовки помещены в ячейки D2 и D3.
Расчеты в таблице Excel выполняются по следующему алгоритму:
1. Вычисление первого столбца: первые два значения x = x0 и x1 = x0+h вводятся в ячейки A3 и A4, затем, выделив две эти ячейки, заполняем столбец значений x до достижения конечного значения x=1,5.
2. Затем заполним первую строку расчетной таблицы: в столбце y введем y0 в ячейку B3, в столбце введем в ячейку C3 формулу: =$E$2*(A3^2-B3^2) (вычисляется приращение функции y для текущего значения x в соответствии с формулой ).
3. Вычисление второго столбца:
вводим формулу =В3+С3 в ячейку B4 и копируем ее в ячейки B5:B18 (вычисляется новое значение функции y при изменении x на один шаг с помощью линейного приращения по формуле ).
4. Вычисление третьего столбца:
копируем формулу из ячейки C3 в ячейки C4:C18
Рис. 1.1. Фрагмент рабочего листа с решением примера по методу Эйлера
2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА В EXCEL И TURBO PASCAL 7.0
2.1 Постановка задачи
Решить численно указанную задачу Коши для уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта, используя табличный процессор Excel и с помощью программы на языке Турбо Паскаль 7.0. Построить графики решений в Excel, с помощью Мастера диаграмм. Провести анализ полученных результатов.
Исследовать поведение решения на отрезке [0,1.5] с начальным условием y(0)=0, числом отрезков разбиения n=15. Параметр c=0.2.
2.2 Математическая модель задачи (метод Рунге-Кутта).
Приводим уравнение к виду .
По условию выполнено соотношение: .
Расчетные формулы для конкретного примера записываются, исходя из общих формул:
где i = 0,1,…, n-1.