Численные методы решения типовых математических задач

курсовая работа

2.7 Тестовый пример

writeln(Нажмите Enter);

readln;

newt(N,d1,X,Y,koef_polinoma);

zapisb(koef_polinoma,x,y,n,fail);

vblvod(fail,fail1);

writeln(Нажмите Enter для просмотра графика функции, затем еще раз для выхода из программы);

readln;

grafik(N,X,Y,koef_polinoma);

END.

readln(d1);

writeln(Нажмите Enter);

readln;

newt(N,d1,X,Y,koef_polinoma);

zapisb(koef_polinoma,x,y,n,fail);

vblvod(fail,fail1);

writeln(Нажмите Enter для просмотра графика функции, затем еще раз для выхода из программы);

readln;

grafik(N,X,Y,koef_polinoma);

END.

Дана табличная функция:

Вычислить разделенные разности 1-го, 2-го, 3-го порядков (n=3) и занести их в диагональную таблицу.

Разделенные разности первого порядка:

Разделенные разности второго порядка:

Разделенная разность третьего порядка:

Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной табличной функции имеет вид:

График интерполяционного многочлена будет таким:

procedure zapisb(koef:mas; uzel,fun:mas; kolvo:integer; var f:text);

{В данной процедуре осуществляется запись в файл данных и результата}

var i:integer;

begin

assign(f,interpol.txt);

rewrite(f);

for i:=0 to kolvo do writeln(f,x= ,uzel[i]:8:4, f(x)=,fun[i]:8:4);

writeln(f,Интерполяционный полином);

write(f,p(x)=,koef[0]:8:4);

for i:=1 to kolvo do if i>1 then write (f,+(,koef[i]:8:4,)*x^,i)

else write (f,+(,koef[i]:8:4,)*x);

close(f);

end;

procedure vblvod(var f1,f2:text);

{Вывод содержимого записанного файла на экран}

var s1:string;

begin

clrscr;

assign(f1,interpol.txt);

reset(f1);

assigncrt(f2);

rewrite(f2);

while not eof(f1) do

begin

Readln(f1,s1);

writeln(f2,s1);

end;

close(f2);

close(f1);

end;

procedure grafik(kolvo:integer; uzlbl,funktsiya:mas; c:mas);

{Построение графика полученной функции}

var driver,mode,Err,a1,b1,z,i,j:integer; s:string; xt,yt:real;

begin

driver:=detect;

InitGraph(driver,mode,d: p7pgi);

err:=graphresult;

if err<>grok then writeln(Ошибка при инициализации графического режима)

else

begin

Setcolor(9);

line(320,0,320,480);

line(0,240,640,240);

settextstyle(smallfont,horizdir,3);

setcolor(10);

outtextxy(320,245,0);

a1:=0;

b1:=480;

z:=-10;

for i:=0 to 20 do

begin

if z<>0 then

3. Среднеквадратическое приближение функции

3.1 Постановка задачи

Разработать схему алгоритма и написать программу на языке Turbo Pascal 7.0 для выполнения среднеквадратического приближения функции, заданной в узлах.

3.2 Математическая формулировка задачи

Пусть имеется множество функций , принадлежащих линейному пространству функций. Под близостью в среднем интерполируемой и интерполирующей функций будем понимать результат оценки интеграла

, (3.1)

где - весовая функция.

Такое приближение называют среднеквадратичным.

3.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

Задача среднеквадратичного приближения возникает во многих областях прикладных исследований, например, при статистической обработке данных эксперимента с использованием регрессивного анализа, при оценивании параметров моделей, в задачах фильтрации и т.п.

Когда уровень неопределенности в задании приближаемой функции f(xi), i=1..m, достаточно велик, что характерно для обработки экспериментальных данных, бессмысленно требовать выполнения условий интерполирования; кроме того, число точек задания функции f(xi) часто весьма велико. Все это делает применение интерполирования мало перспективным по причинам плохой обусловленности задачи высокой размерности и проблем сходимости процесса интерполяции

Одной из наиболее простых и, поэтому, широко используемых приближающих функций является алгебраический полином

Метод среднеквадратичного приближения обеспечивает построение полинома Pn(x), исходя из минимизации величины

Рассмотренный метод приближения минимизирует среднеквадратичное уклонение аппроксимирующего полинома от аппроксимируемой функции, но не гарантирует от значительных локальных ошибок. Для предотвращения подобной возможности используют полиномы наилучшего равномерного приближения.

в пространстве параметров a0 , a1 ,...,an. Существуют различные подходы к решению задачи минимизации функции D(a). Простейший из них приводит к необходимости решения нормальной системы линейных алгебраических уравнений

Однако, уже при n > 5 матрица такой системы оказывается настолько плохо обусловленной, что полученные из (3.4) значения aj оказываются мало пригодными для вычисления Pn(x). Поэтому, при необходимости построения полиномов наилучшего среднеквадратичного приближения более высоких степеней применяют другие алгоритмы, например, метод сингулярного разложения.

3.4 Численный метод решения задачи

Можно рассмотреть две задачи:

1 - подобрать функцию так, чтобы выполнялось неравенство

; (3.5)

2 - найти наилучшее приближение, т.е. такую функцию , чтобы было справедливым соотношение

. (3.6)

Далее займемся отысканием наилучшего приближения.

Разложим функцию по системе линейно независимых функций :

. (3.7)

В дальнейшем для сокращения записи будем пользоваться определением скалярного произведения в пространстве функций :

.

Подставляя (3.7) в условие (3.6), получим

.

Дифференцируя это выражение по и приравнивая производные нулю, получим

. (3.8)

Определитель этой системы есть определитель Грама функций . В силу их линейной независимости этот определитель не равен нулю. Следовательно, из системы (3.8) можно найти коэффициенты , определяющие функцию согласно (3.6) и минимизирующие интеграл от погрешности . Таким образом, наилучшее среднеквадратичное приближение существует и оно единственно.

При использовании ортонормированной системы функций система (3.8) упрощается:

,

т.е. являются коэффициентами Фурье, а наилучшее приближение есть ряд Фурье, обрываемый на каком-то члене.

Доказано, что в любом линейно нормированном пространстве при линейной аппроксимации вида (3.4) наилучшее приближение существует, хотя оно может быть не единственным.

В тех случаях, когда функции не ортогональны, при определитель Грама уменьшается, приближаясь к нулю. Тогда система становится плохо обусловленной и ее решение дает большую погрешность. В этой ситуации обычно берут не более пяти-шести членов в сумме (3.7).

В качестве чаще всего используют полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, ортогональные с заданным весом.

Рассмотрим частный случай, когда необходимо найти наилучшее приближение функции, заданной таблично. Для вещественных функций, заданных на конечном множестве точек, скалярное произведение определяется формулой

, (3.9)

где - число заданных узлов.

Условие наилучшего среднеквадратичного приближения записывается следующим образом:

. (3.10)

Полагая , где , и подставляя этот многочлен в (3.10), придем к системе (3.8), в которой скалярные произведения вычисляют согласно (3.9). Описанная процедура аппроксимации носит название метода наименьших квадратов.

Наиболее употребительный вариант метода наименьших квадратов соответствует случаю степенного вида функций , т.е. , причем .

Система уравнений (3.8) при этом принимает вид

, , (3.11)

где .

3.5 Схема алгоритма

Рис. 3.1 Основная программа

Рис. 3.2 Процедура ввода данных

Рис 3.3 Процедура среднеквадратичного приближения

program srpribl; {$R+}

uses graph;

label 1,2,3,4;

const m=2;

type mas= array [1..21] of real;

mas1= array [1..m] of real;

mas2= array [1..m,1..m+1] of real;

var i,j:byte;

y1,x1:mas;

xx1:mas1;

a1:mas2;

procedure vvod (x,y: mas);

begin

x[1]:=0;y[1]:=0.290234387293458; x[2]:=0.25;y[2]:=0.201247759722173;

x[3]:=0.5;y[3]:=0.0712686786428094;x[4]:=0.75; y[4]:=0.044294935464859;

x[5]:=1;y[5]:=-0.0745576142333448; x[6]:=1.25;y[6]:=-0.0807833694852889;

x[7]:=1.5;y[7]:=-0.233371530473232;x[8]:=1.75;y[8]:=-0.283957027737051;

x[9]:=2;y[9]:=-0.308697660081089;x[10]:=2.25;y[10]:=-0.42091366359964;

x[11]:=2.5;y[11]:=-0.516991161741316;x[12]:=2.75;y[12]:=-0.427710095947851;

x[13]:=3;y[13]:=-0.374748698528856;x[14]:=3.25;y[14]:=-0.229905794281513;

x[15]:=3.5;y[15]:=-0.205365492492496639;x[16]:=3.75;y[16]:=-0.129155068378896;

x[17]:=4;y[17]:=-0.0438349825330079;x[18]:=4.25;y[18]:=0.0294586319476366;

x[19]:=4.5;y[19]:=0.132592592108995;x[20]:=4.75;y[20]:=0.206369574274868;

x[21]:=5;y[21]:=0.26959548862651;

end;

procedure srpribl (xx:mas1;a:mas2);

var l:real;

s,z,k1:integer;

begin

for s:=1 to m-1 do

for z:=s+1 to m do

begin

a[z,s]:=-a[z,s]/a[s,s];

for k1:=s+1 to m+1 do a[z,k1]:=a[z,k1]+a[z,s]*a[s,k1]

end;

xx[m]:=a[m,m+1]/a[m,m]; writeln( xx[,m,]=,xx[m]:2:3);

for i:=m-1 downto 1 do

begin

l:=a[i,m+1];

for j:=i+1 to m do l:=l-xx[j]*a[i,j];

xx[i]:=l/a[i,i]; writeln( xx[,i,]=,xx[i]:2:3)

end

end;

procedure Grafik (var x,y:mas;xx:mas1)

var ec,gd,gm:integer;

begin

gd:=detect;

initgraph (gd,gm, );

ec:=graphresult;

if ec<>grok then begin

writeln (Oshibka v inicializacii grafika);

halt (1);

end;

setcolor(white);

line (0,420,620,420);

line (0,0,0,420);

setcolor (white);

for i:=1 to 21 do begin

circle (round (x[i]*150),round (y[i]*100),1);

end;

setcolor (yellow);

for i:=1 to m do begin

circle (round (x[i]*150),round (xx[i]*100),1);

end;

setcolor (green);

for i:=2 to m do begin

line (round (x[i-1]*150),round(xx[i-1]*100),round (x[i]*150),

round (xx[i]*100));

end;

end;

begin

vvod(x1,y1);

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 3 do a[i,j]:=0;

a[1,1]:=21;

for i:=1 to 21 do

begin

a[1,2]:=a[1,2]+x[i];

a[2,1]:=a[2,1]+x[i];

a[2,2]:=a[2,2]+x[i]*x[i];

a[1,3]:=a[1,3]+y[i];

a[2,3]:=a[2,3]+y[i]*x[i]

end;

srpribl(xx1,a1);

for i:=1 to 21 do

writeln(y[i]:2:3, ,xx[1]+xx[2]*x[i]:2:3);

Grafik(x1,y1,xx1);

end.

Делись добром ;)