Численные методы решения трансцендентных уравнений
2. Общая информация
Основные понятия
Алгебраические уравнения (в канонической форме):
аn x n + an-1 x n-1 + ... + a1x + a0 = 0
Трансцендентные уравнения - в которых переменная х находится под знаком трансцендентной функции:
показательная а х ;
логарифмическая log a x ;
тригонометрические sin x ;
cos x ;
tg x ;
Решение нелинейного уравнения не всегда возможно и не всегда целесообразно, поэтому решение таких уравнений ведется приближённо.
Пусть существует такая непрерывная функция f(x) и требуется найти все или некоторые корни уравнения:
f(x)=0, (1).
Допустим, существует такой корень x уравнения f(x)=0, что он сводит его в тождество f(x)=0, тогда, решая уравнение каким-либо численным методом, мы находим приближённое значение корня x*, с погрешностью r. r - абсолютная погрешность.
Итак, во-первых, необходимо найти количество и расположение этих корней. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них необходимые нам корни, а также уточнить их приближённые значения. Первые две задачи можно решить аналитическими, либо графическими методами.
Для отделения корней существуют различные методы. Например, это может быть ясно из смысла задачи.
Если необходимо найти только действительные корни, есть смысл составить таблицу значений f(x). Если в двух соседних колонках таблицы находятся значения с разными знаками, то между ними существует нечетное число корней, по крайней мере, один корень. Если узлы близки, то, скорее всего, между ними всего один корень.
Таблица(1)
|
x |
- |
-1 |
1 |
+ |
|
|
f(x) |
- |
+ |
- |
+ |
Но выявить по таблице корень четной кратности крайне сложно.
Также, возможно отделение корней с помощью построения графика функции y = f(x), где приближенные значения действительных корней уравнения f(x) = 0 соответствуют абсциссам точек пересечения или касания графика с осью 0x. Помимо этого, построение графика часто позволяет найти корни чётной кратности.
«Иногда удается заменить уравнение (1) эквивалентным ему уравнением ц(x)=ш(x), в котором функции y1= ц(x) и y2= ш(x) имеют несложные графики. Например, уравнение x*sin(x)-1=0 удобно преобразовать к виду sin(x)=1/x. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения». Калиткин Н.Н. «Численные методы» стр.139
Но наиболее распространен следующий метод: если на концах некоторого интервала [a, b] значения непрерывной функции f(x) имеют разные знаки, то на этом интервале уравнение F(x)=0 имеет хотя бы один корень. При этом корень является единственным, если производная функции f(x) существует и сохраняет свой знак внутри интервала [a, b].