Численные методы решения трансцендентных уравнений

курсовая работа

4. Метод простой итерации

Или метод последовательных приближений. Чтобы применить этот метод для решения уравнения (1) необходимо преобразовать его к виду . Далее выбирается начальное приближение и вычисляется x1, затем x2 и т.д.:

x1 = (x0);

x2 = (x1);

…;

xk = (xk-1);

Если xn стремится к некоторому пределу x, то этот предел и есть корень уравнения.

Полученная последовательность сходится к корню при выполнении следующих условий:f

1) функция (x) дифференцируема на интервале [a, b].

2) во всех точках этого интервала (x) удовлетворяет неравенству:

0 q 1 (2)

При таких условиях скорость сходимости является линейной, а итерации следует выполнять до тех пор, пока не станет справедливым условие:

. (3)

Критерий вида

, (4)

может использоваться только при 0 q Ѕ. Иначе итерации заканчиваются преждевременно, не обеспечивая заданную точность. Если вычисление q затруднительно, то можно использовать критерий окончания вида

; . (5)

Возможны различные способы преобразования уравнения (1) к виду . Следует выбирать такой, который удовлетворяет условию (4), что порождает сходящийся итерационный процесс, как, например, это показано на рис. 2, 3. В противном случае, в частности, при (x)>1, итерационный процесс расходится и не позволяет получить решение (рис. 4).

Материал с сайта allbest.ru

Рис. 2

Материал с сайта allbest.ru

Рис. 3

Материал с сайта allbest.ru

Рис.4

Говорят, что итерационный процесс сходится, если при выполнении последовательных итераций получаются значения корней, все ближе и ближе приближающиеся к точному значению корня. В противном случае итерационный процесс считается расходящимся.

Почти все итерационные методы, в том числе и метод простых итераций, имеют важное достоинство: в них не накапливаются ошибки вычислений. Эта ошибка эквивалентна некоторому ухудшению следующего приближения. Однако это не отразится на результате и будет заметно лишь по количеству итераций.

Даже грубые ошибки не могут причинить видимого вреда. Но только если ошибка не выбрасывает приближение за пределы области сходимости.

Пример. Необходимо методом итераций уточнить корень [0;1] уравнения: х 3 - 3х +1 = 0, с точностью 10 -3 (табл. 3).

Преобразованное уравнение:

.

Таблица 3

n

х n

(x n)

0

0

0,3333

1

0,3333

0,3457

2

0,3457

0,3471

3

0,3471

0,3473

4

0,3473

х 4 - х 3 <

0,347.

Делись добром ;)