Численные методы решения трансцендентных уравнений

курсовая работа

5. Метод хорд

Или метод пропорциональных частей, хотя я так и не понял почему. Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f(x) - непрерывная функция, имеющая в интервале (a, b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [a, b].

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [a, b] дугу кривой y = f(x) можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. f (x)f (x) . Тогда уравнение хорды, проходящей через точки A0 и B, имеет вид

. (6)

Приближение корня x = x1, для которого y = 0, определяется как

. (7)

Аналогично для хорды, проходящей через точки A1 и B, вычисляется следующее приближение корня

. (8)

В общем случае формула метода хорд имеет вид:

. (9)

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е.

f (x)f "(x) ,

то все приближения к корню x* выполняются со стороны правой границы отрезка [a, b], как это показано на рис. 6, и вычисляются по формуле:

. (10)

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции f(x) и осуществляется по правилу: неподвижной является граница отрезка [a, b] изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (9) используется в том случае, когда f(b)f "(b) . Если справедливо неравенство f(a)f "(a) , то целесообразно применять формулу (10).

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением:

. (11)

Тогда условие завершения вычислений записывается в виде:

. (12)

где - заданная погрешность вычислений. Необходимо отметить, что при отыскании корня метод хорд нередко обеспечивает более быструю сходимость, чем метод половинного деления.

Пример. Необходимо методом хорд уточнить корень [0;1] уравнения х 3 - 3х + 1 = 0 с точностью 10 -3 (табл. 4) .

;

а = 0; f(a) = 1.

Таблица 4

n

х n

x n - a

f(x n )

0

1

1

-1

-0,5

1

0,5

0,5

-0,375

-0,3636

2

0,3636

0,3636

-0,0427

-0,3487

3

0,3487

0,3487

-0,0037

-0,3474

4

0,3474

0,3474

-0,0003

-0,3473

5

0,3473

x 5 - x 4 < .

0,347.

Делись добром ;)