Эвклидова геометрия
4. Аксиомы Эвклидовой геометрии
Через каждые две различные точки проходит прямая и притом одна;
На каждой прямой имеется, по крайней мере, две точки;
Существуют три точки, не лежащие на одной прямой;
Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна;
На каждой плоскости имеется, по крайней мере, одна точка;
Если две точки лежат на плоскости, то и проходящая через них прямая лежит на этой плоскости;
Если две плоскости имеют общую точку, они имеют, по крайней мере, ещё одну общую точку;
Существуют четыре точки, не лежащие на одной плоскости.
Аксиомы порядка:
Из любых трёх различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими;
Для всяких двух точек прямой существует на этой прямой такая третья точка, что вторая точка лежит между первой и третьей;
Если прямая l, лежащая в плоскости ABC, не проходит ни через одну из точек A, B, C и содержит одну точку отрезка AB, то она имеет общую точку с хотя бы одним из отрезков AC, BC;
Аксиомы движения:
Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя;
Пусть f -- произвольное движение. Тогда, если точки A, B, C расположены на одной прямой, причём C лежит между A и B, то точки f(A), f(B), f(C) также расположены на одной прямой, причём f(C) лежит между f(A) и f(B);
Два движения, произведённые один за другим, равносильны некоторому одному движению;
Для всяких двух реперов, взятых в определённом порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй;
Аксиомы непрерывности:
Аксиома Архимеда. Пусть A0, A1, B -- три точки, лежащие на одной прямой, причём точка A1 находится между A0 и B. Пусть далее f -- движение, переводящее точку A0 в A1 и луч A0B в A1B. Положим f(A1)=A2, f(A2)=A3, …. Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке An-1An.
Аксиома Кантора. Пусть A1, A2, … и B1, B2, … -- такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой l, что для любого n точки An и Bb различны между собой и лежат на отрезке An-1Bn-1. Тогда на прямой l существует такая точка C, которая находится на отрезке AnBn при всех значениях n.
Аксиома параллельности:
Через точку A, не лежащую на прямой l, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей прямую 1.