Эйлеровы графы

курсовая работа

Задача о кёнигсбергских мостах.

Отцом теории графов является Эйлер (1707-1782), решивший в 1736г. широко известную в то время задачу, называвшуюся проблемой Кёнигсбергских мостов. В городе Кёнигсберге (ныне Калининград) было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголя и друг с другом так, как показано на рисунке 5. Задача состояла в следующем: найти маршрут прохождения всех четырёх частей суши, который начинался бы с любой из них, кончался бы на этой же части и ровно один раз проходил по каждому мосту.

Рис.5.

Легко, конечно попытаться решить эту задачу эмпирически, производя перебор всех маршрутов, но все попытки окончатся неудачей. Исключительный вклад Эйлера в решение этой задачи заключается в том, что он доказал невозможность такого маршрута.

Для доказательства того, что задача не имеет решения, Эйлер обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каждый мост - линией (ребром), соединяющей соответствующие точки. Получился “граф”. Этот граф показан на рисунке 6, где точки отмечены теми же буквами, что и четыре части суши на рисунке 5.

Рис.6.

Утверждение о не существовании “положительного” решения у этой задачи эквивалентно утверждению о невозможности обойти специальным образом граф, представленный на рисунке 6.

Отправляясь от этого частного случая Эйлер обобщил постановку задачи и нашёл критерий существования обхода у данного графа, а именно граф должен быть связным и каждая его вершина должна быть инцидентна чётному числу рёбер.[6]

Делись добром ;)