Экстремальная задача на индексационных классах

§ 2 Свойства отображения

Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого существует и единственная ФР .

2. Если , то множество одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок обозначает слабую сходимость)) и ФР такие, что ,, , для и для .

Пусть и , где , a, b.

Функция непрерывна слева на [a, b] и (a)=0 для всех . Так как t>0 при t[a, b], то не убывает по .

Далее, из _k при k следует . Следовательно, семейства распределений {} и {} непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B₀(f)<…<B_m(f) (под X<Y (X, YR¹) понимаем x<y для всех xX, yY) из [a, b] такие, что (-1)^j f(x)>0 (или (-1)^j+1f(x)>0 при xB_j(f), и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения () и для любого , , функция - ( - ) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция - имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x₀<x₁<…<x_n+3b такие, что (-1)ⁱ [ -] > 0, . Кроме того, (a)=(a)=0. Следовательно, существуют точки y₀[a, x₀), y₁[x₀, x₁), …, y_n+3[x_n+2, x_n+3) такие, что функция (-1)ⁱ [t - (t)] возрастает в точке y_i, , что противоречит условию .

Равенство запишем в виде

tc_i, ,

где , , с₀ = 1.

Очевидно, что последовательности u₀, …, u_k, , образуют T₊ - системы на [a, b]. Из условия ^(k)(t)>0 для t[a, b] и следует (см. [1]), что последовательности -u₀, …,-u_k , также образуют T₊ - системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция - не может иметь n+1 строгих перемен знака.

Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами B_i(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P₀(f)=(-, infB₁(f)], P_i(f)=[supB_i-1(f), infB_i+1(f)],

, P_k(f)=[supB_k-1(f), +).

Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций

{ - :[0,1]} и { - :[0,1]}.

Число (число ) назовем: параметром первого типа, если функция () имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция () отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция () имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция () имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.

Каждому [0,1] ([0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X₀(), …, X_n+2() (Y₀(), …, Y_n+2()) следующим образом. Если () есть:

параметр первого типа, то

X_i()=P_i(), (Y_i()=P_i(), );

параметр второго типа, то

X_i()=P_i-1(), , X₀()=(-, infB₀()],

(Y_i()=P_i(), , Y_n+2()=(supB_n+1(), +));

параметр третьего типа, то

X_i()=P_i(), , X_n+2()=[supB_n+1(), +)),

(Y_i()=P_i-1(), , Y₀()=(-, infB₀()]).

Таким образом:

(-1)^n-i(t)0 при tIntX_i(), , (1)

(-1)^n-i(t)0 при tIntY_i(), .

При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XIntX_i() и (-1)^n-i(t)0 при tX. Ни для какого i не существует интервала YIntY_i() и (-1)^n-i(t)0 при tY.

Заметим также, что X_i(0)=Y_i+1(0), X_i+1(1)=Y_i(1).

Определение 2. Отображение Z(): [0, 1]Z()R¹ непрерывно, если из _i⁰, x_ix⁰, где ⁰, _i [0, 1], x_iZ(_i), i1, следует x⁰Z(⁰).

Лемма 2. Отображения X_i(), Y_i(), непрерывны.

Доказательство. Пусть _j, j. Обозначим через границы отрезка X_i(_j). Определим a₀=-. Возьмем произвольную точку a₁ сгущения последовательности {a₁^(j)}_j1. Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {a_i^(j)}_j1, и {b_i^(j)}_j1, . Положим b_n+2=+.

Итак,

, , (2)

причем -=a₀<a₁b₀a₂b₁…a_n+1b_na_n+2b_n+1<b_n+2=+.

Из (1) и (2) следует, что для .

(-1)^n-i(t)0 (3)

при t(a_i, b_i), если a_ib_i.

Из (3) и следует, что a_ib_i, , так как в противном случае функция имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения X_i() следует [a_i, b_i]X_i(),. Для любого i из x_j[a_i^(j), b_i^(j)] и x_jx⁰ вытекает, что x⁰[a_i, b_i]. Следовательно, x⁰X_i().

Непрерывность отображений Y_i() доказывается аналогично.