Элективный курс "Подготовка к Единому государственному экзамену по математике" как одна из форм развития продуктивного мышления

дипломная работа

2.2 Дидактический материал к элективному курсу

Тема 1. Преобразование тригонометрических выражений. (8 час.) Соотношения между тригонометрическими функциями одного итого же аргумента. Формулы кратных аргументов. Обратные тригонометрические функции.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения; тестовая работа.

Вычислите значение каждой из тригонометрических функций, если (1):

1 вариант

1. cos a = 5/13, 0 < a< p/2.

2. sin a = 0,6, sin b = - 0,28, 00 < a < 900 ,

1800 < b < 2700. Найдите cos (a + b).

3. sin a=5/13, р/2< a< p. Найдите sin 2a.

2 вариант

1. sin a = 0,8, p/2 < a < p.

2. sin a = - 12/13, p < a < p. Найдите tg (a - ).

3. sin a=5/13, р/2< a< p. Найдите cos 2a.

3 вариант

4. cos a = - 3/5, 1800 < a < 2700.

5. sin a = 0,8, sin b = - 0,96, 00 < a < 900 ,

00 < b < 900. Найдите sin (a - b).

6. sin a=5/13, р/2< a< p. Найдите ctg 2a.

4 вариант

1. sin a = 0,6, 00 < a < 900

2. tg a=3/4, р < a< 3р/2. Найдите sin 2a.

3. sin a=8/17, cos b=4/5,a и b - углы первой четверти. Найдите cos (a + b).

5 вариант

1. sin a = - 0,6, 2700 < a < 3600.

2. tg a=3/4, р < a< 3р/2. Найдите cos 2a.

3. sin a=8/17, cos b=4/5, a и b - углы первой четверти. Найдите sin (a + b).

6 вариант

1. tg a = 2, 1800 < a < 2700 .

2. tg a=3/4, р < a< 3р/2. Найдите tg 2a.

3. sin a=8/17, cos b=4/5, a и b - углы первой четверти. Найдите cos (a - b).

7 вариант

1. ctg a = - 3, 2700 < a < 3600.

2. tg a=3/4, р < a< 3р/2. Найдите ctg 2a.

3. sin a=9/41, cos b=-40/41. a - угол 2 четверти, b - угол четвёртой четвери. Найдите sin (a + b).

8 вариант

1. sin a=4/5, р/2 < a< р.

2. cos a=-0,6, р < a< 3р/2. Найдите sin 2a.

3. cos a=0,6, sinb=- 0,28, 00 < a < 900 , 1800 < b < 2700. Найдите cos (a + b).

9 вариант

1. cos a = - 5/13, р < a< 3р/2.

2. cos a=-0,6, р < a< 3р/2. Найдите cos 2a.

3. cos a=0,6, sinb=- 0,28, 00 < a < 900 , 1800 < b < 2700. Найдите sin (a - b).

10 вариант

1. cos a = 15/17, 3р/2 < a< 2р.

2. cos a=-0,6, р < a< 3р/2. Найдите ctg 2a.

3. cos a=0,6, sinb=- 0,28, 00 < a < 900 , 1800 < b < 2700. Найдите cos (a -b).

Тема 2. Решение тригонометрических уравнений. (8 час.) Формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений. Отбор корней, принадлежащих промежутку. Способы решения тригонометрических уравнений.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач для самостоятельного решения, тестовая работа.

Уравнения, сводимые к алгебраическим.

Примеры :

Решить уравнения

а) 2sin2x - 7cosx - 5 = 0

Решение.

б) cos2x + 3sinx = 2.

Решение.

Однородные уравнения

Решить уравнения.

а) cos2x + sinx cosx = 0

В условии не указано, что cosx?0, а потому делить уравнение на cos2x нельзя. Но можно утверждать, что sinx 0, так как в противном случае cosx = 0, что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2x, получим:

б) 4sin2x+2sin х cosx = 3.

Решение.

Умножим правую часть уравнения на sin2x + cos2x. Получим:

4 sin2 х + 2 sinx cos х =3 sin2x +cos2x,

sin2 х +2 sinx cos x -- 3cos2x = 0.

Очевидно, что cos x ? 0. Разделим на cos2x, получим:

Уравнения, решаемые разложением на множители

Решить уравнения.

а) sin2x- sin х= 0.

Решение.

б) sin4x -cos2x = 0

Решение.

2 sin2x cos2x -cos2x = 0

cos2x (2 sin2x -cos2x) =0

1) cos2x =0,

2x= /2 +n, nZ.

x= /4 +n /2, nZ

2) 2 sin2x -cos2x =0

2tg2x -1 =0

tg2x=1/2

2x= arctg1/2 + k,k Z.

x=1/2 arctg1/2 +k /2, kZ.

Ответ: x= /4 +n /2, x=1/2 arctg1/2 +k /2, n,kZ.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций

Решить уравнения

а) sinx + sin3x =4 cos3x

Решение.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Решить уравнения.

а) 2 sin2x +cos4x = 0.

Решение.

б) sin2x - sin22x + sin23x =1/2.

Решение.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Решить уравнения.

а) 3sinx + 4 cosx = 2

Решение.

a =3, b= 4, c=2, a2 + b2 =25, c2 =4, a2+b2 c2, следовательно уравнение имеет решение.

5sin (х +) = 2,

sin (х +) = 2/5, откуда получим

х + = (-1) n arcsin 2/5 +n, nZ

х = (-1) n arcsin 2/5 +n- ,nZ

= arctg 4/ 3. По четырехзначной математической таблице найдем

arcsin 2/5 23 35

= arctg 4/ 3 53 08

х = (-1) n 23 35+180n- 53 08,nZ

Ответ:х = (-1) n 23 35+180n- 53 08,nZ

б) 3sinx - 4 cosx = 5

Решение.

a =3, b= - 4, c=5, 32 + 42 = 52,т.е. a2+b2 = c2 ,значит уравнение имеет решение.

Решить уравнения.

а) 4 arctg(х2 -3х -3 )- = 0.

Решение.arctg(х2 -3х -3) =/4

Так как значения арктангенса находятся в промежутке (-/2 ; /2 ), то в этом случае из равенства углов следует равенство функций. Пользуясь сделанными замечаниями, получим:

х2 -3х -3 = 1

х2 -3х -4 = 0

т.е. х1= -1 и х2 =4.

Ответ:. х1= -1,х2 =4.

б) 6 arcsin (х2 -6х + 8,5) =

Решение.arcsin (х2 -6х + 8,5) =/6,

х2 -6х + 8,5=0,5

х2 -6х + 8=0, откуда х1=2 и х2= 4.

Ответ: х1=2,х2= 4.

Тема 3. Преобразование рациональных и иррациональных выражений (9 час.) Свойства степени с целым показателем. Разложение многочлена на множители. Сокращение дроби. Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Преобразование иррациональных выражений.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения; тестовая работа.

Исключение иррациональности из числителя или знаменателя дробного выражения

Вычисление дробных выражений, содержащих радикалы, часто облегчается, если предварительно «уничтожить иррациональность» в числителе или знаменателе, то есть преобразовать дробь так, чтобы в числителе или знаменателе не содержались радикалы.

Чтобы исключить иррациональность из знаменателя (числителя) дроби, достаточно числитель и знаменатель умножить на так называемый дополнительный множитель.

В общем случае трудно указать универсальный способ нахождения дополнительного множителя для произвольного иррационального выражения.

В таблице приведены дополнительные множители для некоторых простейших иррациональных выражений, полученных с помощью формул сокращённого умножения.

Иррациональное алгебраическое выражение

Дополнительный множитель для иррационального выражения

Рациональное алгебраическое выражение (произведение )

xy

x - y

x - y

(n - нечетное)

x - y

Примеры

Исключить иррациональность в знаменатели дроби:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение.

1) = ;

2) =;

3) = ;

4) = ;

5) =

Рассмотрим более сложные примеры.

С дробью вида поступают так.

Умножают знаменатель на и получают

()() =

Затем это выражение умножают на

Отсюда видно, что дополнительным множителем для данной дроби может быть произведение

()().

Следовательно,

=где

Аналогично можно исключить иррациональность из знаменателей дробей вида

и

( предлагается учащимся самостоятельно найти дополнительный множитель для данного вида дробей)

Примеры.

Исключить иррациональность в знаменателе дроби:

1) ; 2) .

Решение.

1) =

2)

Обозначим

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ( ), получаем

=

В результате обратной замены имеем

.

Если знаменатель дроби - сумма четырёх квадратных корней

,причём ab = cd, то исключить иррациональность из знаменателя дроби можно так:

=,

где

Пример: Ответ:

1) 1) -2-

Преобразование сложного корня (квадратного и кубического).

Выражение вида называют сложными квадратными корнями (радикалами).

Для их преобразования пользуются формулой

;где А>0, В>0 и

В правильности этой формулы легко убедится, если возвести обе части формулы в квадрат. Эта формула упрощает сложный радикал, если - точный квадрат.

Например:

1)

2)

На практике удобно пользоваться более простыми очевидными формулами:

где а?0, в?0

Рассмотрим примеры:

1) Упростить;

2) Упростить;

3) Упростить;

Для применения формулы представим данный корень в виде-

, тогда

Упражнения для самостоятельного решения:

Проверочная работа (На два варианта (а) и (б)).

Проверьте равенство.

а)

б)

Для упрощения сложных кубических корней, можно подкоренное выражение представить в виде куба двучленна. Например:

Делись добром ;)