Элективный курс "Подготовка к Единому государственному экзамену по математике" как одна из форм развития продуктивного мышления
2.2 Дидактический материал к элективному курсу
Тема 1. Преобразование тригонометрических выражений. (8 час.) Соотношения между тригонометрическими функциями одного итого же аргумента. Формулы кратных аргументов. Обратные тригонометрические функции.
Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения; тестовая работа.
Вычислите значение каждой из тригонометрических функций, если (1):
1 вариант |
1. cos a = 5/13, 0 < a< p/2. 2. sin a = 0,6, sin b = - 0,28, 00 < a < 900 , 1800 < b < 2700. Найдите cos (a + b). 3. sin a=5/13, р/2< a< p. Найдите sin 2a. |
|
2 вариант |
1. sin a = 0,8, p/2 < a < p. 2. sin a = - 12/13, p < a < p. Найдите tg (a - ). 3. sin a=5/13, р/2< a< p. Найдите cos 2a. |
|
3 вариант |
4. cos a = - 3/5, 1800 < a < 2700. 5. sin a = 0,8, sin b = - 0,96, 00 < a < 900 , 00 < b < 900. Найдите sin (a - b). 6. sin a=5/13, р/2< a< p. Найдите ctg 2a. |
|
4 вариант |
1. sin a = 0,6, 00 < a < 900 2. tg a=3/4, р < a< 3р/2. Найдите sin 2a. 3. sin a=8/17, cos b=4/5,a и b - углы первой четверти. Найдите cos (a + b). |
|
5 вариант |
1. sin a = - 0,6, 2700 < a < 3600. 2. tg a=3/4, р < a< 3р/2. Найдите cos 2a. 3. sin a=8/17, cos b=4/5, a и b - углы первой четверти. Найдите sin (a + b). |
|
6 вариант |
1. tg a = 2, 1800 < a < 2700 . 2. tg a=3/4, р < a< 3р/2. Найдите tg 2a. 3. sin a=8/17, cos b=4/5, a и b - углы первой четверти. Найдите cos (a - b). |
|
7 вариант |
1. ctg a = - 3, 2700 < a < 3600. 2. tg a=3/4, р < a< 3р/2. Найдите ctg 2a. 3. sin a=9/41, cos b=-40/41. a - угол 2 четверти, b - угол четвёртой четвери. Найдите sin (a + b). |
|
8 вариант |
1. sin a=4/5, р/2 < a< р. 2. cos a=-0,6, р < a< 3р/2. Найдите sin 2a. 3. cos a=0,6, sinb=- 0,28, 00 < a < 900 , 1800 < b < 2700. Найдите cos (a + b). |
|
9 вариант |
1. cos a = - 5/13, р < a< 3р/2. 2. cos a=-0,6, р < a< 3р/2. Найдите cos 2a. 3. cos a=0,6, sinb=- 0,28, 00 < a < 900 , 1800 < b < 2700. Найдите sin (a - b). |
|
10 вариант |
1. cos a = 15/17, 3р/2 < a< 2р. 2. cos a=-0,6, р < a< 3р/2. Найдите ctg 2a. 3. cos a=0,6, sinb=- 0,28, 00 < a < 900 , 1800 < b < 2700. Найдите cos (a -b). |
Тема 2. Решение тригонометрических уравнений. (8 час.) Формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений. Отбор корней, принадлежащих промежутку. Способы решения тригонометрических уравнений.
Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Форма контроля: проверка задач для самостоятельного решения, тестовая работа.
Уравнения, сводимые к алгебраическим.
Примеры :
Решить уравнения
а) 2sin2x - 7cosx - 5 = 0
Решение.
б) cos2x + 3sinx = 2.
Решение.
Однородные уравнения
Решить уравнения.
а) cos2x + sinx cosx = 0
В условии не указано, что cosx?0, а потому делить уравнение на cos2x нельзя. Но можно утверждать, что sinx 0, так как в противном случае cosx = 0, что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на sin2x, получим:
б) 4sin2x+2sin х cosx = 3.
Решение.
Умножим правую часть уравнения на sin2x + cos2x. Получим:
4 sin2 х + 2 sinx cos х =3 sin2x +cos2x,
sin2 х +2 sinx cos x -- 3cos2x = 0.
Очевидно, что cos x ? 0. Разделим на cos2x, получим:
Уравнения, решаемые разложением на множители
Решить уравнения.
а) sin2x- sin х= 0.
Решение.
б) sin4x -cos2x = 0
Решение.
2 sin2x cos2x -cos2x = 0
cos2x (2 sin2x -cos2x) =0
1) cos2x =0,
2x= /2 +n, nZ.
x= /4 +n /2, nZ
2) 2 sin2x -cos2x =0
2tg2x -1 =0
tg2x=1/2
2x= arctg1/2 + k,k Z.
x=1/2 arctg1/2 +k /2, kZ.
Ответ: x= /4 +n /2, x=1/2 arctg1/2 +k /2, n,kZ.
Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций
Решить уравнения
а) sinx + sin3x =4 cos3x
Решение.
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
Решить уравнения.
а) 2 sin2x +cos4x = 0.
Решение.
б) sin2x - sin22x + sin23x =1/2.
Решение.
Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.
Решить уравнения.
а) 3sinx + 4 cosx = 2
Решение.
a =3, b= 4, c=2, a2 + b2 =25, c2 =4, a2+b2 c2, следовательно уравнение имеет решение.
5sin (х +) = 2,
sin (х +) = 2/5, откуда получим
х + = (-1) n arcsin 2/5 +n, nZ
х = (-1) n arcsin 2/5 +n- ,nZ
= arctg 4/ 3. По четырехзначной математической таблице найдем
arcsin 2/5 23 35
= arctg 4/ 3 53 08
х = (-1) n 23 35+180n- 53 08,nZ
Ответ:х = (-1) n 23 35+180n- 53 08,nZ
б) 3sinx - 4 cosx = 5
Решение.
a =3, b= - 4, c=5, 32 + 42 = 52,т.е. a2+b2 = c2 ,значит уравнение имеет решение.
Решить уравнения.
а) 4 arctg(х2 -3х -3 )- = 0.
Решение.arctg(х2 -3х -3) =/4
Так как значения арктангенса находятся в промежутке (-/2 ; /2 ), то в этом случае из равенства углов следует равенство функций. Пользуясь сделанными замечаниями, получим:
х2 -3х -3 = 1
х2 -3х -4 = 0
т.е. х1= -1 и х2 =4.
Ответ:. х1= -1,х2 =4.
б) 6 arcsin (х2 -6х + 8,5) =
Решение.arcsin (х2 -6х + 8,5) =/6,
х2 -6х + 8,5=0,5
х2 -6х + 8=0, откуда х1=2 и х2= 4.
Ответ: х1=2,х2= 4.
Тема 3. Преобразование рациональных и иррациональных выражений (9 час.) Свойства степени с целым показателем. Разложение многочлена на множители. Сокращение дроби. Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Преобразование иррациональных выражений.
Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.
Формы контроля: проверка задач для самостоятельного решения; тестовая работа.
Исключение иррациональности из числителя или знаменателя дробного выражения
Вычисление дробных выражений, содержащих радикалы, часто облегчается, если предварительно «уничтожить иррациональность» в числителе или знаменателе, то есть преобразовать дробь так, чтобы в числителе или знаменателе не содержались радикалы.
Чтобы исключить иррациональность из знаменателя (числителя) дроби, достаточно числитель и знаменатель умножить на так называемый дополнительный множитель.
В общем случае трудно указать универсальный способ нахождения дополнительного множителя для произвольного иррационального выражения.
В таблице приведены дополнительные множители для некоторых простейших иррациональных выражений, полученных с помощью формул сокращённого умножения.
Иррациональное алгебраическое выражение |
Дополнительный множитель для иррационального выражения |
Рациональное алгебраическое выражение (произведение ) |
|
xy |
|||
x - y |
|||
x - y |
|||
(n - нечетное) |
x - y |
Примеры
Исключить иррациональность в знаменатели дроби:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Решение.
1) = ;
2) =;
3) = ;
4) = ;
5) =
Рассмотрим более сложные примеры.
С дробью вида поступают так.
Умножают знаменатель на и получают
()() =
Затем это выражение умножают на
Отсюда видно, что дополнительным множителем для данной дроби может быть произведение
()().
Следовательно,
=где
Аналогично можно исключить иррациональность из знаменателей дробей вида
и
( предлагается учащимся самостоятельно найти дополнительный множитель для данного вида дробей)
Примеры.
Исключить иррациональность в знаменателе дроби:
1) ; 2) .
Решение.
1) =
2)
Обозначим
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение ( ), получаем
=
В результате обратной замены имеем
.
Если знаменатель дроби - сумма четырёх квадратных корней
,причём ab = cd, то исключить иррациональность из знаменателя дроби можно так:
=,
где
Пример: Ответ:
1) 1) -2-
Преобразование сложного корня (квадратного и кубического).
Выражение вида называют сложными квадратными корнями (радикалами).
Для их преобразования пользуются формулой
;где А>0, В>0 и
В правильности этой формулы легко убедится, если возвести обе части формулы в квадрат. Эта формула упрощает сложный радикал, если - точный квадрат.
Например:
1)
2)
На практике удобно пользоваться более простыми очевидными формулами:
где а?0, в?0
Рассмотрим примеры:
1) Упростить;
2) Упростить;
3) Упростить;
Для применения формулы представим данный корень в виде-
, тогда
Упражнения для самостоятельного решения:
Проверочная работа (На два варианта (а) и (б)).
Проверьте равенство.
а)
б)
Для упрощения сложных кубических корней, можно подкоренное выражение представить в виде куба двучленна. Например: