4. Решетки подгрупповых функторов
Аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.
Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.
Пусть - некоторый класс групп. Будем говорить, что - ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число , что для всех имеет место . Везде в дальнейшем мы предполагаем, что - некоторый ограниченный класс групп.
Обозначим через, множество всех подгрупповых -функторов, а через - множество всех замкнутых подгрупповых -функторов. На множестве введем частичный порядок , полагая, что имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы справедливо .
Для произвольной совокупности подгрупповых -функторов определим их пересечение для любой группы . Понятно, что - нижняя грань для в . Мы видим, что - полная решетка с нулем и единицей . Понятно, что функтор , где для всех , является верхней гранью для в .
Заметим, что если - произвольный набор замкнутых подгрупповых -функторов, то, очевидно, - замкнутый подгрупповой -функтор. А поскольку замкнутым является и функтор , мы видим, что также является полной решеткой.
Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в . Отметим, например, что если содержится в классе конечных групп, то решетка является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа класс состоит из элементарно-абелевых -групп. С другой стороны, решетка является цепью тогда и только тогда, когда все группы из являются -группами. Покажем, что в общем случае не является подрешеткой в . Для этого достаточно установить, что если - класс всех конечных групп и ,, где и - различные простые числа, то функтор не является замкнутым. Пусть , где - группа порядка , a - группа порядка . Понятно, что и . Таким образом, если бы функтор был бы замкнутым, то мы бы имели Но, как нетрудно заметить, во множество входят лишь такие подгруппы из для которых имеет место одно из двух: или . Это означает, что . Следовательно, функтор не является замкнутым.
- Логика изложения
- 38.Преобразование строк в списки атомов с функторами.
- Функторы совместимые с stl
- Передача функтора в функцию в качестве аргумента
- Стандартные функторы stl
- Примеры использования функторов.
- Составные объекты данных и функторы
- Структура языка и выражения. Функторы
- 9.5. Функторы
- Что такое категория, функтор?