Эллиптические функции Якоби
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Исторически первыми были подробно исследованы эллиптические функции, зависящие лишь от одного параметра, а поэтому обладающие меньшей общностью.
Рассмотрим эллиптический интеграл первого рода в форме Якоби
(1)
как функцию верхнего предела ц и одного параметра 0 < k < 1. Из определения (1) очевидно, что функция u(ц) определена для любого вещественного значения . Ее производная
du/dk= при 0<k<1
конечна и отлична от нуля, и, поскольку du/dц> 0, функция u(ц) является монотонно возрастающей.
Обратная к u(ц) функция (то есть зависимость интервала интегрирования от величины интеграла (1)) называется амплитудой, и для нее принято следующее обозначение:
ц(u)=am(u;k) или ц=am(u). (2)
Функция ц=am(u), являющаяся результатом обращения эллиптического интеграла первого рода (1), определена для любого значения u, непрерывна и имеет конечную производную
Введем теперь следующие функции:
, (3)
которые, как нетрудно видеть, являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми функциями от переменной u.
Функции (3) впервые были введены К. Якоби и называются эллиптическими функциями Якоби. Для этих функций в настоящее время приняты следующие обозначения:
(4)
Из определений (3) непосредственно следует, что рассматриваемые функции Якоби связаны между собой простыми соотношениями:
(5)
так что каждые две из этих функций легко могут быть выражены через третью.
Покажем далее, что эллиптические функции Якоби (4) вещественного аргумента u являются периодическими, причем snu и cnu имеют вещественный период 4K, а функция dnu обладает действительным периодом 2K, где K-- полный эллиптический интеграл первого рода вида:
(1.1)
Для этого докажем сначала, что при увеличении переменной u на 2K функция амплитуды (2) ц=am(u) возрастает на величину , то есть что
am(u + 2K) = am(u) + . (6)
В самом деле, поскольку подынтегральное выражение (1.1) на отрезке 0?ц? симметрично относительно ц= / 2, то
2K=, (7)
поэтому, если в равенстве
Осуществить замену t = t ?р, тогда будем иметь
или
Полученное равенство свидетельствует о том, что при увеличении эллиптического интеграла первого рода (1) на 2K его амплитуда возрастает на р, что и доказывает соотношение (6).
На основании (6) и (4) сразу устанавливаем искомые условия периодичности:
(8)
И аналогично
dn(u+2K)=
(9)
Нули функции snu, согласно (4), определяются из условия
ц= am(u) = рn, n = 0,±1, ...,
так что, как следует из (1), (7) и (8), функция Якоби snu от вещественной переменной u обращается в нуль при
u = 2nK, n = 0,±1, ... (10)
Функция cnu, как следует из (4), обращается в нуль, когда
ц =am(u) = р/2 + рn, n = 0,±1, ...
Следовательно, нулями функции cnu являются вещественные значения
u = (2n ?1)K, n = 0,±1, ... (11)
В то же время при 0<k<1, как следует из (4), функция dnu не обращается в нуль ни при каких действительных значениях переменной u.
Введенные эллиптические функции Якоби (4) нетрудно обобщить и на случай комплексного аргумента u. Для этого обратимся к тета-функциям Якоби и рассмотрим функции вида
(12)
Полагая
(13)
и учитывая ++=0, в случае действительных инвариантов заключаем, что условию (13) соответствует вещественность всех корней , = 1?2, =?1, так что дискриминант D характеристического уравнения положителен. Поэтому при выполнении условия (13) сразу находим
= K(k), = iK(k), =?1. (14)
Здесь по-прежнему K(k) -- полный эллиптический интеграл первого рода, k=, а согласно (7), k= -- модуль полного эллиптического интеграла. С другой стороны, как следует из (13) для справедливо также представление
(15)
в котором, q = exp(iрф), ф= ?, то есть
q = exp[-рK(k)/K(k)].
Из вида правой части выражения (12) и следует, что нули функции от комплексной переменной z совпадают с нулями функции , которые, имеют простые (не кратные) нули вида
, (16)
где n и m -- целые числа, = K(k), = iK(k?).
Полюса функции (z) () как нетрудно видеть, совпадают с простыми нулями тета-функции , которые определяются равенством
или, согласно (14),
(17)
Здесь также n и m -- целые числа.
Функция (z) имеет основные периоды и обладает периодами и =2[K(k) + iK(k?)], а имеет основные периоды и = i4K(k?), так что любой другой период рассматриваемых функций (z) () представляется в виде
, (18)
где n и m -- целые числа.
При вещественных значениях z = u, как следует из (8)-(11) и (16)-(18), эллиптические функции Якоби snu, cnu, dnu и, соответственно, функции (u), (u) и (u) обладают одинаковыми периодами, нулями (функции dnu и при вещественных значениях аргументов не обращаются в нуль) и не содержат полюсов). Аналитически продолжим область определения функций Якоби (9.1.4) на комплексную плоскость так, чтобы нули, полюса и периоды этих функций определялись соответственно выражениями (16), (17) и (18). Тогда, согласно теореме Лиувилля будем иметь
(19)
где () -- постоянные величины. Для нахождения этих постоянных подставим в первое выражение (19) вещественное значение z==K(k), тогда, учитывая (4) и определение полного эллиптического интеграла первого рода, получим
. (20)
из известного ранее,
получаем,
(21)
И поскольку 0 < k < 1, то из (20) будем иметь
(22)
Аналогично после подстановки в два последних выражения (19) z = u = 0,
согласно (4), получим
из которых следует, что
сразу находим
(23)
Таким образом, на основании (19), (22) и (23), для эллиптических (мероморфных двоякопериодических) функций Якоби в комплексной области (в случае комплексного аргумента) будем иметь следующие определения
(24)
где, как следует из (13), (14), =K(k),
Мероморфной называется аналитическая функция, не содержащая в конечной части комплексной плоскости других особых точек, кроме полюсов.
Так как функция является нечетной, а тета-функции , и -- четные функции, то из (24) следует, что snz является нечетной функцией от комплексной переменной z, а cnz и dnz -- четные функции.
Согласно (24), (17) и (18), эллиптические функции Якоби, как и ?-функция Вейерштрасса, являются эллиптическими функциями второго порядка (число полюсов в основном параллелограмме периодов , равно двум), но оба полюса (в основном параллелограмме периодов) однопараметрических функций Якоби snz, cnz и dnz от комплексной переменной z являются простыми (не кратными), тогда как двухпараметрическая функция ?(z) обладает в основном параллелограмме периодов одним двукратным полюсом.
На основании (16)-(18) в таблице 1(в которых m и n -- целые числа, включая нуль, то есть n, m = 0, ±1, ...) приведены значения нулей, полюсов и периодов эллиптических функций Якоби, определяемых выражениями (24).
Таблица 1
При этом основными периодами для функции snz являются =4K(k), =i2K(k?), для функции cnz- = 4K(k), =2(K(k)+iK(k?)), а для dnz-=2K(k), =i4K(k?)
Формулы преобразования тета-функций Якоби (24), представлены в таблице 2.
Таблица 2
В таблице 3 приведены результаты, соответствующие базовым унимодулярным S и Q-преобразованиям для функций Якоби.
Таблица 3
В частности, для S-преобразования с учетом (21) и результатов, приведенных в таблице 3, имеем
,
поскольку, согласно (13) и (21)-(23), ,
а следовательно, после S-преобразования дополнительный модуль (k?)* будет равен
При этом, так как
или, с учетом замены переменных ц = р? 2 ? ц*,
так что унимодулярное S-преобразование для функций Якоби, согласно определениям (24), отвечает формальному переходу к переменной z* = k?z и новому параметру k* = ik/k?. Поэтому из (24), например, для функции cn(z*;k*) будем иметь
или
Аналогично для Q-преобразования, получим
и, учитывая, что при этом преобразовании согласно (14), будем иметь
то есть z*=?iz , k*=k?. Тогда, например, для Q-преобразования из (24), в согласии с таблицей 3, непосредственно следует равенство
то есть
(25)
Полагая в (25) z*=iu (то есть z = ?u, так как для Q-преобразования z* = ? iz), мы сразу получаем выражение для функции от мнимого аргумента через
функцию от действительного аргумента
, (26)
При k<1/2 () вычисления функций Якоби целесообразно производить непосредственно по выражениям (24), а в случае k>1/2 необходимо воспользоваться Q-преобразованием, которое, приводит к следующим представлениям:
(27)
где , а для параметра в случае k>1/2 будет выполняться неравенство q*<exp(-р), что обеспечит достаточно быструю сходимость рядов для тета-функций.