Эллиптические функции Якоби

курсовая работа

5 ОБРАЩЕНИЕ -ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА

При интегрировании эллиптических функций возникает проблема, связанная с определением значения аргумента -функции Вейерштрасса по величине этой функции. Аналогичная ситуация также возникает и при нахождении постоянных интегрирования по заданным начальным условиям.

Поэтому рассмотрим задачу определения значения z из уравнения

(5.1)

(то есть проблему обращения ?-функции Вейерштрасса). Здесь б и в -- произвольные вещественные величины.

Из свойств ?-функции следует, что решение данной задачи неоднозначно, так что для выбора единственного решения будем также считать, что задана производная ?-функции:

(5.2)

Предположим далее, что

(5.3)

и пусть дискриминант D характеристического уравнения положителен, то есть D > 0. В этом случае, согласно (3.4), для ?-функции Вейерштрасса справедливо следующее представление:

(5.4)

в котором

а аргументы s и н связаны с переменными (5.3) v,u соотношениями

(5.5)

Используя затем функцию амплитуды (вида (3.15)), определим вещественные величины ц и ш следующим образом:

(5.6)

Тогда из (5.4) с учетом (5.1) и (3.14) после несложных преобразований будем иметь

(5.7)

где

Следовательно, вводя, как и в предыдущем разделе, обозначения

(5.8)

из (5.7) получим для x и y следующую систему уравнений:

из которой находим

y=r+f-x. (5.9)

Здесь

Если теперь воспользоваться формулой (теоремой) сложения (4.22) для эллиптических интегралов первого рода

F(ц+i;k)=F(;k)=iF(;k),

то, согласно (5.6) и (4.17)-(4.18), будем иметь

s=F(;k), v= F(;k) (5.10)

а следовательно, с учетом (5.5), получим

(5.11)

где л, м определяются выражениями (4.24), (4.25), в которых величины x и y находятся из (5.9).

Решение z=u+iv, определяемое (5.11), является (если оно располагается в основном параллелограмме периодов) одним из двух возможных решений уравнения (5.1) в основном параллелограмме периодов ?-функции Вейерштрасса. Другое решение, имеет вид z= 2(щ + щ) ? z, или

(5.12)

Займемся теперь поиском того решения, которое отвечает условию (5.2). Для этого, учитывая, что, согласно (26),

вычислим на основании выражений (5.4)-(5.5), (5.11), а также определений (3.14) и (3.15), значения ?(u) и ?(iv), которые будем обозначать соответственно через p и q:

(5.13)

Затем воспользуемся формулой сложения для ?-функций Вейерштрасса, согласно которой

Дифференцируя по переменной z = u + iv обе части этого уравнения, после несложных преобразований будем иметь

(5.14)

где

а ?(u2) и ?(iv2) также определяются соответствующими выражениями (5.13), то из (5.14) и условия (5.2) следует, что

(5.15)

причем при разу находим =, а в случае получим

Заключаем, что в случае отрицательного знака b при sign(b) = + из двух возможных решений (5.11) и (5.12) реализуется то, которое располагается в области , , а при sign(b) = ? следует выбирать решение, для которого , . Если же sign(b) = +, то при sign(b) = + искомое решение располагается в области , , а при отрицательном знаке b истинное решение находится в области , .

Пусть теперь дискриминант D характеристического уравнения отрицателен D < 0. Для нахождения в этом случае взаимосвязи ?-функции Вейерштрасса с эллиптическими функциями Якоби обратимся к эллиптическому интегралу первого рода в форме Вейерштрасса

(5.16)

Из (6.16), в частности, следует, что абсолютное значение z приведенного эллиптического интеграла является результатом обращения ?-функции Вейерштрасса w = ?(z).

Поскольку при D < 0 (когда г= a ± ib, г= ?2a)

то, переходя в (5.16) от w к новой переменной ф, так что

w= (5.17)

причем , после очевидных преобразований получим

2z

где k=, Следовательно, согласно (3.13)-(3.15) и (5.17), будем иметь

или

(5.18)

Здесь аргументы s и связаны с переменными (5.3) v, u соотношениями (5.5), в которых следует считать h=2. Вводя далее, как и ранее, вещественные величины ц и соотношением (5.6), из выражений (5.1) и (5.18) получим

cos(ц + iш) = r + if (i21=?), (), (5.19)

где

Тогда величины x=sinц, y=shш, согласно (5.19), будут определяться системой уравнений

(1?x)(1+y)=r, xy = f,

решение которой имеет вид:

x=d+ y=x-2d, (5.20)

при этом

Аналогично случаю положительного дискриминанта, на основании (5.11), с учетом (5.20), могут быть затем определены аргументы u1 и v, представляющие собой одно из решений (z = u + iv) уравнения (5.1). И, наконец, определяя значения p = ?( u) и q = ?(iv), согласно (5.18), (5.11), из выражений

p= q= (5.21)

и используя соотношение (5.14) для знаков величин ? и ??, мы получим представление (5.15).

Так как в рассматриваемом случае D < 0, основной параллелограмм периодов можно представить в виде четырех треугольников

или

из которого при z = iv и вещественных значениях инвариантов g, g следует, что

то есть

Таким образом, для нахождения однозначного решения уравнения (5.1) достаточна лишь информация о знаках величин и . Более того, из теоремы (формулы) сложения и свойств однородности для ?-функций Вейерштрасса следует, что

Поэтому, поскольку то, согласно (5.1)-(5.3) и (5.15), имеем

sign = ?sign(b,b),

и, значит, учитывая (5.15), заключаем, что для однозначного обращения ?-функции Вейерштрасса достаточно установить только один знак -- либо , либо

Делись добром ;)