Эллиптические функции Якоби
5 ОБРАЩЕНИЕ -ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
При интегрировании эллиптических функций возникает проблема, связанная с определением значения аргумента -функции Вейерштрасса по величине этой функции. Аналогичная ситуация также возникает и при нахождении постоянных интегрирования по заданным начальным условиям.
Поэтому рассмотрим задачу определения значения z из уравнения
(5.1)
(то есть проблему обращения ?-функции Вейерштрасса). Здесь б и в -- произвольные вещественные величины.
Из свойств ?-функции следует, что решение данной задачи неоднозначно, так что для выбора единственного решения будем также считать, что задана производная ?-функции:
(5.2)
Предположим далее, что
(5.3)
и пусть дискриминант D характеристического уравнения положителен, то есть D > 0. В этом случае, согласно (3.4), для ?-функции Вейерштрасса справедливо следующее представление:
(5.4)
в котором
а аргументы s и н связаны с переменными (5.3) v,u соотношениями
(5.5)
Используя затем функцию амплитуды (вида (3.15)), определим вещественные величины ц и ш следующим образом:
(5.6)
Тогда из (5.4) с учетом (5.1) и (3.14) после несложных преобразований будем иметь
(5.7)
где
Следовательно, вводя, как и в предыдущем разделе, обозначения
(5.8)
из (5.7) получим для x и y следующую систему уравнений:
из которой находим
y=r+f-x. (5.9)
Здесь
Если теперь воспользоваться формулой (теоремой) сложения (4.22) для эллиптических интегралов первого рода
F(ц+i;k)=F(;k)=iF(;k),
то, согласно (5.6) и (4.17)-(4.18), будем иметь
s=F(;k), v= F(;k) (5.10)
а следовательно, с учетом (5.5), получим
(5.11)
где л, м определяются выражениями (4.24), (4.25), в которых величины x и y находятся из (5.9).
Решение z=u+iv, определяемое (5.11), является (если оно располагается в основном параллелограмме периодов) одним из двух возможных решений уравнения (5.1) в основном параллелограмме периодов ?-функции Вейерштрасса. Другое решение, имеет вид z= 2(щ + щ) ? z, или
(5.12)
Займемся теперь поиском того решения, которое отвечает условию (5.2). Для этого, учитывая, что, согласно (26),
вычислим на основании выражений (5.4)-(5.5), (5.11), а также определений (3.14) и (3.15), значения ?(u) и ?(iv), которые будем обозначать соответственно через p и q:
(5.13)
Затем воспользуемся формулой сложения для ?-функций Вейерштрасса, согласно которой
Дифференцируя по переменной z = u + iv обе части этого уравнения, после несложных преобразований будем иметь
(5.14)
где
а ?(u2) и ?(iv2) также определяются соответствующими выражениями (5.13), то из (5.14) и условия (5.2) следует, что
(5.15)
причем при разу находим =, а в случае получим
Заключаем, что в случае отрицательного знака b при sign(b) = + из двух возможных решений (5.11) и (5.12) реализуется то, которое располагается в области , , а при sign(b) = ? следует выбирать решение, для которого , . Если же sign(b) = +, то при sign(b) = + искомое решение располагается в области , , а при отрицательном знаке b истинное решение находится в области , .
Пусть теперь дискриминант D характеристического уравнения отрицателен D < 0. Для нахождения в этом случае взаимосвязи ?-функции Вейерштрасса с эллиптическими функциями Якоби обратимся к эллиптическому интегралу первого рода в форме Вейерштрасса
(5.16)
Из (6.16), в частности, следует, что абсолютное значение z приведенного эллиптического интеграла является результатом обращения ?-функции Вейерштрасса w = ?(z).
Поскольку при D < 0 (когда г= a ± ib, г= ?2a)
то, переходя в (5.16) от w к новой переменной ф, так что
w= (5.17)
причем , после очевидных преобразований получим
2z
где k=, Следовательно, согласно (3.13)-(3.15) и (5.17), будем иметь
или
(5.18)
Здесь аргументы s и связаны с переменными (5.3) v, u соотношениями (5.5), в которых следует считать h=2. Вводя далее, как и ранее, вещественные величины ц и соотношением (5.6), из выражений (5.1) и (5.18) получим
cos(ц + iш) = r + if (i21=?), (), (5.19)
где
Тогда величины x=sinц, y=shш, согласно (5.19), будут определяться системой уравнений
(1?x)(1+y)=r, xy = f,
решение которой имеет вид:
x=d+ y=x-2d, (5.20)
при этом
Аналогично случаю положительного дискриминанта, на основании (5.11), с учетом (5.20), могут быть затем определены аргументы u1 и v, представляющие собой одно из решений (z = u + iv) уравнения (5.1). И, наконец, определяя значения p = ?( u) и q = ?(iv), согласно (5.18), (5.11), из выражений
p= q= (5.21)
и используя соотношение (5.14) для знаков величин ? и ??, мы получим представление (5.15).
Так как в рассматриваемом случае D < 0, основной параллелограмм периодов можно представить в виде четырех треугольников
или
из которого при z = iv и вещественных значениях инвариантов g, g следует, что
то есть
Таким образом, для нахождения однозначного решения уравнения (5.1) достаточна лишь информация о знаках величин и . Более того, из теоремы (формулы) сложения и свойств однородности для ?-функций Вейерштрасса следует, что
Поэтому, поскольку то, согласно (5.1)-(5.3) и (5.15), имеем
sign = ?sign(b,b),
и, значит, учитывая (5.15), заключаем, что для однозначного обращения ?-функции Вейерштрасса достаточно установить только один знак -- либо , либо