Японська храмова геометрія - васан

научная работа

3. Теореми японської храмової геометрії

Японська теорема стверджує, що незалежно від того як ми розібєм на трикутники вписаний в коло многокутник, сума радіусів вписаних в трикутники кіл величина стала.

Сума радіусів зелених кіл дорівнює сумі радіусів червоних кіл.

І навпаки, якщо сума радіусів вписаних в трикутники кіл не залежить від способу тріангуляції, то многокутник можна вписати в коло. Японська теорема випливає з теореми Карно, це є одною із задач сангаку.

Формула Карно, називається на честь Лазаря Карно. Нижче наведено її формулювання. Нехай ABC вписаний в коло трикутник, тоді сума відстаней від центра описаного кола D до сторін трикутника ABC дорівнює:

де r - радіус вписаного кола, а R - радіус описаного кола. Тут знак відстаней береться негативним тоді і тільки тоді, якщо відрізок DX (X = F, G, H) лежить повністю за межами трикутника. На даному рисунку DF - зі знаком мінус, а DG і DH - зі знаком плюс.

Теорема 1. AB - хорда, CD - діаметр кола з центром у точці O, радіусом r, M - середина AB. Якщо AB = a, CM= b, то:

a2 = 4b (2r - b)

Теорема 2. Якщо коло з центром у точці O1 і радіусом r1, коло з центром у точці O2 і радіусом r2 та коло з центром у точці O3 і радіусом r3 дотикаються і вписані в коло з центром O і радіусом R, то

R =

або = 2

Теорема 3. Якщо коло з центром у точці O1 і радіусом r1, коло з центром у точці O2 і радіусом r2 та коло з центром у точці O3 і радіусом r3 дотикаються одне до одного і дотикаються до прямої l, то

r3 = або =

Доведемо спочатку допоміжне твердження. Нехай два кола з центрами в точках O1 і O2 і радіусами r1 і r2 дотикаються між собою в точці A і дотикаються до прямої l у точках B і C

Тоді BC =

Доведення. Точка A є точкою дотику, тому вона лежить на прямій O O 1 2. Проведемо діаметри BD і CE; вони будуть паралельними як перпендикулярні до однієї прямої BC. Сполучимо точку A з кінцями відрізків BD і CE. Трикутники DO1A і AO2C - рівнобедрені. DO1A = AO2C як внутрішньо різносторонні. Звідси O1AD = O2AC і точки D, A, C лежать на одній прямій. Аналогічно й точки B, A, E лежать на одній прямій. ACB = AEC, оскільки в сумі з ACE обидва ці кута дають 90. Тому прямокутні трикутники DCB і BEC подібні. З їх подібності маємо 2r1: x = x: 2r2, звідки x = 2. Використаємо доведене твердження для подальшого доведення теореми. Оскільки C1C2 = C1C3 + C2C3, тоді . Поділивши на , дістанемо: .

Теорема 4. Якщо коло з центром у точці O1 і радіусом r1, дотикається до кіл із центрами O2, O3, O4 та радіусами r2, r3, r4 відповідно, коло з центром у точці O2 і радіусом r2 дотикається до кіл із центрами в точках O3, O5, та радіусами r3, r5, кола с центрами в точках O5, O3, O4 та відповідними радіусами r5, r3, r4 дотикаються між собою, кола з центрами в точках O1, O2, O3, O4 та відповідними радіусами r1, r2, r3, r4 дотикаються до прямої l, то

r4 = , r5 = .

Теорема 5. Якщо коло з центром у точці O1 і радіусом r1 дотикається до кіл із центрами O2,O3, O4 та радіусами r2, r3, r4 відповідно, коло з центром у точці O3 і радіусом r3 дотикається до кіл із центрами в точках O2, O4 та радіусами r2, r4 відповідно, кола з центрами в точках O2, O3, O4 та відповідними радіусами r2, r3, r4 дотикаються до прямої l, то

4r1 = .

Теорема 6. Якщо коло з центром у точці O1 і радіусом r1, дотикається до кіл із центрами O2, O3, O4, O5 та радіусами r2, r3, r4, r5 відповідно, коло з центром у точці O3 і радіусом r3, дотикається до кіл з центрами в точках O2, O4 та радіусами r2, r4 відповідно, коло з центром у точці O4 і радіусом r4 дотикається до кола з центром в точці O5 і радіусом r5, кола з центрами в точках O2, O3, O4 та відповідними радіусами r2, r3, r4 дотикаються до прямої l, то

= .

Теорема 7. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить його на 2 трикутники. Доведіть, що сума радіусів кіл, вписаних у цей трикутник і у два одержаних, дорівнює висоті даного трикутника.

Доведення. Спочатку згадаємо лему. Якщо катети прямокутного трикутника a і b, а гіпотенуза c, то радіус вписаного кола r = (a + b - c).

Нехай дано довільний трикутник ABC зі сторонами a, b, c, висотою CH = h, а радіуси кіл, вписаних у трикутники ABC, ACH, BCH, дорівнюють r, r1, r2. Згідно з лемою,

r + r1 + r2 = (a + b - a1 - b1) + (a1 + h - a) + (b1 + h - b) = h

Отже, r + r1 + r2 = h.

Делись добром ;)