Графическое отображение объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве

методичка

2.4 Контрольные вопросы

Что мы называем следом плоскости и как его определить на комплексном чертеже.

Как определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

Определение натуральной величины треугольника методом вращения.

3. Расчетно-графическая работа по теме "Взаимное пересечение плоскостей"

Цель работы: приобрести навыки в решении позиционных задач на точку, прямую и плоскость. Научиться строить точки пересечения прямой общего положения с плоскостью и определять видимость геометрических элементов способом конкурирующих точек.

3.1 Задание

Найти линию пересечения призмы плоскостью. (Призма задана координатами точек К, L, M, N и плоскость сигма задана координатами точек А, В, С). Координаты точек выбираем из таблицы 3.1.

Таблица 3.1 - Координаты точек. В миллиметрах

№ вар

A

B

C

K

L

M

N

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

1

240

6

150

0

80

120

200

175

0

190

150

0

255

25

0

145

50

0

115

25

165

2

0

100

118

110

30

165

240

80

34

180

110

0

225

25

0

138

23

0

86

90

160

3

0

124

180

225

35

0

250

208

130

250

128

0

182

8

0

134

58

0

116

145

150

4

60

164

184

40

54

78

238

80

73

165

95

0

230

34

0

116

19

0

114

98

184

5

205

95

142

0

22

35

226

0

0

196

70

100

216

6

135

18

30

112

68

116

6

240

50

42

180

0

16

0

54

126

180

56

70

168

0

15

90

24

50

86

72

135

7

240

0

86

200

160

95

78

0

48

236

10

80

156

10

0

200

70

43

5

52

126

8

240

50

35

0

115

160

140

150

190

233

69

73

199

33

15

171

8

8

61

114

123

9

230

150

110

104

154

150

82

0

40

228

61

42

228

61

10

153

0

25

164

104

155

10

5

115

30

212

138

176

248

54

148

76

9

6

40

52

0

5

94

47

212

86

125

11

35

45

160

204

170

0

253

96

98

133

0

115

94

22

38

34

55

105

206

128

78

12

2500

45

65

138

130

0

0

90

116

239

70

70

194

109

59

165

134

0

33

44

154

13

115

160

180

0

46

144

245

108

54

246

70

35

210

20

98

173

130

162

36

20

98

14

255

105

120

0

62

64

40

180

128

35

4

32

8

100

55

76

0

0

180

150

154

15

0

0

30

234

102

130

234

206

36

50

135

88

0

15

152

16

52

15

182

15

152

16

240

60

80

137

0

162

0

140

132

0

80

80

64

165

0

64

165

80

240

85

80

17

0

30

45

258

116

122

0

116

128

6

0

12

6

58

70

96

0

12

168

140

150

18

250

160

125

0

0

15

128

0

175

19

154

50

0

60

8

62

10

140

190

60

8

19

0

0

15

250

80

70

110

138

138

0

138

115

110

138

138

48

138

12

250

0

138

20

0

90

90

260

104

105

95

0

0

22

0

0

0

54

60

110

0

0

150

145

140

21

245

75

55

0

64

120

0

138

22

238

160

100

198

160

0

128

160

85

68

0

63

22

0

120

45

242

67

115

0

16

154

108

168

8

0

168

8

56

168

102

134

0

76

23

0

90

110

258

152

110

178

52

0

110

0

0

0

0

0

0

0

80

150

175

83

24

0

0

130

168

25

185

258

124

90

258

160

70

198

160

0

146

160

0

50

0

114

25

230

0

80

230

128

158

28

50

0

175

175

165

115

175

165

230

90

165

0

83

0

26

240

140

80

0

52

107

68

146

0

114

170

102

56

170

5

0

170

102

184

0

70

27

165

145

180

0

60

75

244

15

0

200

0

12

125

0

50

35

0

12

125

154

185

28

205

95

140

0

20

35

225

0

0

195

70

10

215

6

40

35

20

80

110

70

115

3.2 Теоретический раздел

3.2.1 Пересечение прямой линии с плоскостью

При решении данной задачи необходимо четко различать следующие этапы ее выполнения (алгоритм):

проведение анализа прямой и плоскости, участвующих в пересечении, выяснить какое положение они занимают в пространстве и если общее, то выполнить построение вспомогательной плоскости дельта (), которую проводят через прямую а (а ). В качестве вспомогательной плоскости рекомендуется брать одну из проецирующих ( 1 2);

построение линии пересечения вспомогательной плоскости дельта с заданной плоскостью сигма (n = );

определение точки К как точки пересечения данной прямой а и построенной прямой n (аn = К)

определение видимости прямой на плоскостях проекций.

На рисунке 3.1 дано аксонометрическое изображение прямой а, пересекающейся с плоскостью сигма, заданной треугольником АВС ( (АВС)). Точка пересечения К найдена с помощью вспомогательной (горизонтально-проецирующей) плоскости дельта (1), которая с заданной плоскостью сигма пересекается по прямой (n = ). Искомая точка К пересечения прямой а с плоскостью треугольника определена как точка пересечения прямых а и n (К = а n).

Рисунок 3.1

Как решается эта задача на эпюре Монжа (комплексном чертеже), смотри на рисунке 3.2

Рисунок 3.2

На рисунке 3.3 рассмотрен еще один пример решения подобной задачи: определить точку пересечения прямой а с плоскостью сигма, заданной двумя параллельными прямыми в и с (а (в с) =К).

Рисунок 3.3

Порядок (алгоритм) решения данной задачи выглядит следующим образом:

через прямую а проведем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость дельта (2);

вспомогательная плоскость дельта пересекает заданную плоскость сигма по прямой 12;

находим проекции этой прямой сначала 12 22 (1222 а12), потом11 и 21 (точка 1 принадлежит прямой в а точка 2 прямой с, следовательно их проекции принадлежат одноименным проекциям этих прямых);

находим точку К пересечения прямой 12 с прямой а; 1121 а11, К1 К2 (а 12) = К.

При выполнении эпюрных построений необходимо проявлять особое внимание к последней стадии решения, когда определяются проекции искомой точки. Следует иметь в виду, что если в качестве вспомогательной секущей плоскости взята горизонтально - проецирующая плоскость, то первой из двух будет определена фронтальная проекция искомой точки (смотри рисунок 3.2). Применяя же фронтально-проецирующую плоскость, сначала находят горизонтальную проекцию К1, а затем К2 (смотри рисунок 3.3).

3.2.2 Определение видимости геометрических элементов способом конкурирующих точек

Видимость для каждой плоскости проекций устанавливаем самостоятельно (рисунок 3.3). Начнем с фронтальной плоскости проекций. Рассмотрим фронтальную проекцию 12 точки 1. В ней как бы пересекаются прямые а и в, но они попали в одну точку на фронтальную плоскость проекций лишь потому, что в пространстве точки, принадлежащие прямым а и в находятся на одном перпендикуляре к плоскости 2. Если пройтись лучом сверху вниз, то мы увидим, что ближе к нам расположена прямая а, а прямая в за ней, следовательно, на 2 видим сначала а2, а потом в2. Видимость для горизонтальной плоскости проекций устанавливаем с помощью точки 3, принадлежащей прямой а и с (). Пройдемся лучом снизу вверх и увидим, что точка 3, принадлежащая прямой с, ниже, чем точка 3 принадлежащая прямой а, следовательно, прямая а на данном участке выше и мы ее видим.

3.2.3 Пересечение двух плоскостей произвольного положения

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие для обеих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения двух плоскостей.

Для того чтобы определить эти точки нужно найти точки пересечения любых двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, или точки пересечения прямой на каждой плоскости с другой плоскостью.

При решении этой задачи (вторая позиционная задача) пользуются алгоритмом, который составлен на основании общей схемы решения второй позиционной задачи. Общий вид алгоритма следующий:

проводится вспомогательная поверхность, пересекающая заданные поверхности;

определяется линия пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей (m и n);

отмечают точки пересечения построенных линий, которые и являются искомыми, так как они принадлежат одновременно заданным поверхностям.

Если пересекающиеся плоскости (или одна из плоскостей) заданы многоугольниками (смотри рисунок 3.4), то построение линии их пересечения значительно упрощается, если вспомогательные проецирующие плоскости провести не произвольно, а через какие - либо две из сторон многоугольников. В нашем примере вспомогательные плоскости дельта перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций и проведены через стороны ЕD и EK, то есть решаем две задачи на пересечение прямой и плоскости (алгоритм решения этой задачи рассмотрен выше). Находим линию 12 пересечения плоскости дельта () с плоскостью треугольника АВС ( (АВС) = 12). Точка М есть точка пересечения линии 12 со стороной DE (М = 12 ЕD), а точка N результат пересечения прямой ЕК с линией 34. Прямая МN является линией пересечения двух треугольников. Видимость определяем с помощью конкурирующих точек (смотри 3.2.2).

Рисунок 3.4

3.2.4 Пересечение плоскости с многогранником

Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами исходного сечения. Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению прямых пересечения плоскости с гранями тела (как пересечение двух плоскостей). Рассмотрим задачу, когда необходимо определить линию пересечения трехгранной призмы плоскостью сигма, заданной двумя пересекающимися прямыми (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5

Каждая из вершин построенного треугольника (МNL), определена как точка пересечения соответствующего ребра, с заданной плоскостью сигма.

N = АА1

Для нахождения точки N проводим вспомогательную, горизонтально-проецирующую плоскость дельта, проходящую через ребро АА1.

Она пересекает плоскость по прямой 12. Построив 1222 определяем точку N2 и с помощью линии проекционной связи находим вторую проекцию точки N-N1. Аналогичные построения выполняем для нахождения точек M и L.

L = ВВ1, M = СС1

3.3 Указания к выполнению задания (образец выполнения работы смотри в приложении Ж)

На листе формата А3, расположение книжное, по координатам точек А В и С строим комплексный чертеж плоскости сигма.

По координатам точек К, М,N и L выполняем комплексный чертеж призмы. Все построения выполняются в тонких линиях. Определяем видимость ребер призмы и сторон треугольника.

Если призму пересечь плоскостью, то в сечении получится многогранник, число вершин которого зависит от того, сколько ребер пересекает секущая плоскость. В нашем задании секущая плоскость пересекает три ребра, следовательно, в сечении получится треугольник, каждая вершина которого находится как точка пересечения ребра с плоскостью (АВС).

Р = КК1

R = ММ1

S = NL

Рассмотрим нахождение точки Р: через ребро КК1 проведем вспомогательную горизонтально-проецирующую секущую плоскость дельта. Эта плоскость пересекает плоскость сигма по прямой 12, горизонтальная проекция которой совпадает с горизонтальной проекцией ребра и вспомогательной плоскости дельта (1121 К1К12). С помощью проекции линии связи находим 12 и 22. Искомая точка Р находится на пересечении прямой АВ и 12 (Р=АВ 12). Точки R и S находим аналогично. По точкам Р, R, S строим треугольник, который получается при пересечении призмы плоскостью сигма, но так как плоскость сигма ограничена треугольником АВС, то и линии пересечения будут ограничены сторонами треугольника. Отмечаем эти точки D и Е, G и F и определяем видимость (приложение Ж).

Следует обратить внимание на то, что данный способ решения не является единственным. Данную задачу можно решить методом замены плоскостей проекций.

Делись добром ;)