3.2.4 Пересечение плоскости с многогранником

Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами исходного сечения. Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению прямых пересечения плоскости с гранями тела (как пересечение двух плоскостей). Рассмотрим задачу, когда необходимо определить линию пересечения трехгранной призмы плоскостью сигма, заданной двумя пересекающимися прямыми (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5

Каждая из вершин построенного треугольника (МNL), определена как точка пересечения соответствующего ребра, с заданной плоскостью сигма.

N = АА¹

Для нахождения точки N проводим вспомогательную, горизонтально-проецирующую плоскость дельта, проходящую через ребро АА¹.

Она пересекает плоскость по прямой 12. Построив 1₂2₂ определяем точку N₂ и с помощью линии проекционной связи находим вторую проекцию точки N-N₁. Аналогичные построения выполняем для нахождения точек M и L.

L = ВВ¹, M = СС¹

3.3 Указания к выполнению задания (образец выполнения работы смотри в приложении Ж)

На листе формата А3, расположение книжное, по координатам точек А В и С строим комплексный чертеж плоскости сигма.

По координатам точек К, М,N и L выполняем комплексный чертеж призмы. Все построения выполняются в тонких линиях. Определяем видимость ребер призмы и сторон треугольника.

Если призму пересечь плоскостью, то в сечении получится многогранник, число вершин которого зависит от того, сколько ребер пересекает секущая плоскость. В нашем задании секущая плоскость пересекает три ребра, следовательно, в сечении получится треугольник, каждая вершина которого находится как точка пересечения ребра с плоскостью (АВС).

Р = КК¹

R = ММ¹

S = NL

Рассмотрим нахождение точки Р: через ребро КК¹ проведем вспомогательную горизонтально-проецирующую секущую плоскость дельта. Эта плоскость пересекает плоскость сигма по прямой 12, горизонтальная проекция которой совпадает с горизонтальной проекцией ребра и вспомогательной плоскости дельта (1₁2₁ К₁К₁₂₎. С помощью проекции линии связи находим 1₂ и 2₂. Искомая точка Р находится на пересечении прямой АВ и 12 (Р=АВ 12). Точки R и S находим аналогично. По точкам Р, R, S строим треугольник, который получается при пересечении призмы плоскостью сигма, но так как плоскость сигма ограничена треугольником АВС, то и линии пересечения будут ограничены сторонами треугольника. Отмечаем эти точки D и Е, G и F и определяем видимость (приложение Ж).

Следует обратить внимание на то, что данный способ решения не является единственным. Данную задачу можно решить методом замены плоскостей проекций.

3.4 Контрольные вопросы

Алгоритм решения задачи на пересечение прямой и плоскости;

Алгоритм решения задачи на пересечение двух плоскостей;

Алгоритм решения задачи на пересечение многогранных поверхностей плоскостями.