1.6. Процесс размножения и гибели

Процессом размножения и гибели называется однородная цепь Маркова с непрерывным временем, принимающая значение i=0,1,2,…, для которой за время Δt возможны переходы из состояния i лишь в соседние состояния: i – 1 и i + 1, то есть для инфинитезимальных характеристик которой выполнены следующие условия

,

.

Такие процессы достаточно адекватны многим реальным процессам в биологии, физике, социологии, демографии, экономике, теории массового обслуживания.

Для удобства обозначим

q_ii-1 = µ_i , q_ii+1 = λ_i,

тогда можно записать

p_ii+1(Δt) = λ_iΔt + o(Δt), p_ii-1(Δt) = µ_iΔt + o(Δt),

p_ii(Δt) =1 – (λ_i + µ_i)Δt + o(Δt).

Если значение процесса интерпретировать как число заявок в некоторой системе массового обслуживания, то λ_iΔt + o(Δt) есть вероятность поступления новой заявки в систему с i заявками, а µ_iΔt + o(Δt) – вероятность окончания обслуживания заявки и её ухода из системы за время Δt.

Прямая и обратная системы дифференциальных уравнений Колмогорова для процесса гибели и размножения имеют вид

, (15)

. (16)

Найдём стационарное распределение вероятностей значений процесса гибели и размножения.

Система уравнений Колмогорова для стационарных вероятностей π_j в этом случае примет вид

π_j-1λ_j-1 – π_j(λ_j + µ_j) + π_j+1µ_j+1 = 0, j=1,2,…, (17)

-π₀λ₀ + π₁µ₁ = 0, (18)

. (19)