Лекция № 3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.

1. Интегральное среднеквадратичное приближение функций ортогональными многочленами.

Пусть на отрезке задана функция и определена система функций

Обобщённым полиномом (многочленом) порядка (степени) n называют функцию вида

, где - некоторые постоянные.

Обобщённый многочлен называют многочленом наилучшего среднеквадратического приближения функции на отрезке , если расстояние от многочлена до данной функции по среднеквадратичной норме (среднеквадратичное отклонение) является наименьшим. Иначе говоря, выполняется условие:

- наименьшее.

Задачу о нахождении такого многочлена называют задачей об интегральном среднеквадратичном приближении (аппроксимации) функции на отрезке обобщённым многочленом. Эта задача сводится к нахождению коэффициентов из условия (1).

Если функция и система функций определены на множестве точек , то приближение функции многочленом называют точечным среднеквадратичным приближением на множестве точек . При этом для обобщённого многочлена наилучшего приближения среднеквадратичное отклонение на системе точек .

Задача нахождения многочлена наилучшего приближения функции на отрезке упрощается, если система функций обладает свойством ортогональности на данном отрезке.

Введём сначала ряд определений.

Определение 1. Скалярным произведением функций и на отрезке называется определённый интеграл от их произведения на этом отрезке. Обозначим скалярное произведение, как и запишем:

.

Определение 2. Нормой функции на отрезке называется число . Функция , для которой существует интеграл , называется интегрируемой с квадратом на отрезке .

Определение 3. Функции и называются ортогональными на отрезке , если их скалярное произведение на этом отрезке равно нулю, то есть

.

Определение 4. Система функций называется ортогональной на отрезке , если все функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке.

Коэффициенты обобщённого многочлена

называются коэффициентами Фурье функции относительно ортогональной системы функций, если они определяются по формулам

Теорема. Для любой функции , интегрируемой с квадратом на отрезке , обобщённый многочлен п-го порядка с коэффициентами Фурье функции относительно ортогональной на отрезке системы функций является многочленом наилучшего среднеквадратичного отклонения этой функции, причём квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением

, где - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам (3).

2. Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы.

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных х и у.

Можно поставить задачу об отыскании аналитической зависимости между переменными, то есть некоторой формулы , явным образом выражающей зависимость у от х. Естественно требовать, чтобы график искомой функции изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек . Поиск такой функциональной зависимости называют “сглаживанием” экспериментальных данных.

Задачу о сглаживании экспериментальных данных можно решать методом наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов, указывается формула

,

где - числовые параметры.

Наилучшими значениями параметров (которые обозначим ) считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функции от экспериментальных точек является минимальной, то есть функция

в точке ( ) достигает минимума. Отсюда, используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров :

.

Если система (6) имеет единственное решение , то оно является искомым и аналитическая зависимость между экспериментальными данными определяется формулой . Заметим, что в общем случае эта система нелинейна.

Рассмотрим подробнее аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами: . Используя соотношения (6) и опуская несложные выкладки, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и :

.

В частном случае аппроксимации экспериментальных данных с помощью линейной функции имеем:

.

Система (7) для этого случая является линейной относительно неизвестных и :

.

Если для переменных х и у соответствующие значения экспериментальных данных не располагаются вблизи прямой, то выбирают новые переменные

так, чтобы преобразованные экспериментальные данные в новой системе координат давали бы точки менее уклоняющиеся от прямой. Для аппроксимирующей прямой коэффициенты можно определить из уравнений (8), где вместо и подставляют соответствующие значения и . Нахождение зависимостей (9) называют, выравниваем экспериментальных данных. Функциональная зависимость определена неявно уравнением разрешимым относительно у в частных случаях.

Пример 1. Установить вид эмпирической формулы , используя аппроксимирующие зависимости с двумя параметрами и , и определить наилучшие значения параметров, если опытные данные представлены таблицей:

Решение.

Легко заметить, что экспериментальные точки лежат приблизительно на одной прямой. Положим и составим таблицу для экспериментальных данных в новых переменных:

Точки лежат приблизительно на одной прямой, в чём легко убедиться, построив их в системе координат . Наилучшие значения параметров и находятся из системы уравнений (8):

.

Решив эту систему, получим: . Неявное уравнение, выражающее связь между переменными и имеет вид . Отсюда легко получить прямую зависимость между переменными в виде степенной функции:

.

Для сравнения можно привести таблицу экспериментальных данных, и данных, полученных с помощью найденной формулы:

Формула, полученная в результате решения приведённого примера, является частным случаем аппроксимирующей зависимости с двумя параметрами, имеющей вид . Параметры этой зависимости можно было бы найти из системы нелинейных уравнений (7) непосредственно, однако применение способа выравнивания существенно упрощает вычисление параметров. В данном случае .

Рекомендации по переведению экспериментальных данных в аппроксимирующие зависимости с двумя переменными приведены в следующей таблице.

Одну из шести предложенных формул преобразования следует выбирать одновременно с проверкой линейной зависимости к исходным данным. Условием выбора наилучшей эмпирической формулы является наименьшее уклонение исходных или преобразованных экспериментальных данных от прямой. Его можно определить по формуле:

.

Для наилучшей эмпирической формулы значение будет наименьшим.

Задание.

Экспериментальные данные содержатся в таблицах. Для каждой из них выполнить следующие операции:

1. Нанести экспериментальные точки на координатную сетку .

2. Выбрать одну из шести предложенных формул преобразования к новым переменным так, чтобы преобразованные экспериментальные данные наименее уклонялись от прямой.

3. Методом наименьших квадратов найти наилучшие значения параметров

и в уравнении прямой .

4. Найти явный вид эмпирической формулы и построить график эмпирической функции.

а)

б)

в)

г)