Погрешности формул численного интегрирования

При использовании формул трапеций и Симпсона подинтегральная функция f(x) заменяется на функциюy(x),и поэтому интеграл вычисляется не точно, а приближенно. Абсолютная погрешность вычисления интеграла:

|I_{точное –} I_{приближенное}| =– для формулы трапеций;

|I_{точное –} I_{приближенное}| =– для формулы Симпсона.

Здесь (a,b) = (x₀,x_n)– участок интегрирования, а- некоторые точки из этого интервала. Поскольку положение этой точки заранее неизвестно, эти оценки заменяют на неравенства

|I_{точное –} I_{приближенное}|£ – для формулы трапеций

|I_{точное –} I_{приближенное}|£– для формулы Симпсона

Здесь – максимум производнойi^гопорядка на отрезке[a,b].

Заметим, что если участок интегрирования[a,b] остается неизменным, а шаг интегрированияh уменьшается в kраз (при этом, соответственно, возрастает вkраз число узлов интегрирования), то погрешность формулы трапеций уменьшается вk² раз – метод 2^гопорядка точности, а две формулы Симпсона – вk⁴ раз – метод 4^гопорядка.