Потенциал простого слоя
Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными по поверхности с плотностью, равени называется потенциалом простого слоя.
Свойство 1. Потенциал простого слоя определён всюду.
Если (не принадлежит несущей поверхности), это очевидно, т.к.имеет конечное значение для любыхр.
Если , то интегралявляется несобственным по двумерной области. Из математического анализа известно, что несобственный интеграл по двумерной областиабсолютно сходится, если, в нашем случае, следовательно, интеграл сходится.
Свойство 2. Потенциал простого слоя и непрерывен всюду.
Если , то интегралне является не собственным, и его непрерывность следует из непрерывности подынтегральной функции.
Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки. Для этого оценим интегралпо части поверхности, содержащей точкуи имеющей диаметр меньший, чем. Пусть- произвольная точка, причем:. Пусть- проекция поверхностина плоскость, акруг на плоскостис центром в точкерадиуса. Проекция на плоскостьэлемента поверхностиравна:. Оценим:
вводим полярную систему координат с началом в точке , тогда легко вычислить последний интеграл, он равен:.
Достаточно взять для того, чтобы выполнялось неравенство.
Свойство 3. Потенциал простого слоя является гармонической функцией всюду, кроме точек несущей поверхности .
Это свойство очевидно, так как для точек интегралне является несобственным и поэтому:
Свойство 4. нормальные производные потенциала простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверхности со скачком.
Свойство 5. если несущая поверхность ограничена, то потенциал простого слоя стремится к нулю, когда точкастремится к бесконечности.
Применим к интегралу теорему о среднем: , где- суммарный заряд.
Т.о.
-
Содержание
- Оглавление
- Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, ,,,понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.