Функция грина однородной системы

Однородной называется система, физические характеристики которой не зависит от выбора начала отсчета аргумента. Такая система описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и имеет область определения аргумента . Например, стационарная система является однородной по времени.

Сдвиг начала отсчета x не меняет состояния, поэтому функция Грина однородной системы зависит от расстояния между источником возмущения и точкой системы

. (9.7)

Интеграл Дюамеля (9.6)

получает вид

. (9.8)

Состояние возмущенной однородной системы является сверткой функции возмущения и функции Грина системы. На языке преобразующего устройства имеем: – выходящий сигнал,– входящий сигнал, и функция Грина–функция преобразователя.

Для функции Грина

,

где ,фурье-образ

(9.9)

называется передаточной функцией системы. Фурье-преобразование уравнения (9.4)

с учетом теоремы Фурье о дифференцировании (1.35)

дает

,

откуда находим передаточную функцию

. (9.9а)

Из (9.8) и из теоремы Фурье о свертке получаем

. (9.10)

Фурье-образ состояния возмущенной однородной системы равен произведению фурье-образа возмущения на передаточную функцию системы.

Обратным преобразованием Фурье находим функцию Грина и решение неоднородного уравнения

,

. (9.11)

Нули знаменателя являются полюсами подынтегральной функции. Интеграл вычисляется в общем случае переходом в комплексную плоскость аргумента k и использованием теории вычетов. Результат зависит от пути обхода полюсов, что определяется граничными условиями, накладываемыми на решение при .

Пример

Электрон с энергией и волновым числом в одномерном неограниченном проводникеудовлетворяет уравнению Шредингера

,

где – волновая функция электрона. Таким же уравнением Гельмгольца описывается одномерная волна любой природы. Получим функцию Грина.

Система однородная, используем метод Фурье. В (9.9а) и (9.11)

,

подставляем ,,и получаем передаточную функцию системы и функцию Грина

,

,

где

; ;

, .

Здесь z – расстояние от наблюдателя в точке x до источника волны в точке ;K – реализуемое системой волновое число; s – текущее волновое число. Подынтегральная функция имеет полюса при

.

Для вычисления интеграла используем теорию вычетов, замыкая контур интегрирования в комплексной плоскости аргумента s. Результат интегрирования зависит от пути обхода полюсов. Возможные контуры интегрирования проходят по вещественной оси и по дуге радиусом R, как показано на рис. 9.2. Полюса лежат на контуре интегрирования, что делает интеграл неопределенным. Доопределяем интеграл, сдвигая полюса заменой

,

(другой выбор рассматривается далее). Такая замена физически означает введение слабого затухания волны. На рисунках полюса обозначены звездочками.

а б

Рис. 9.2. Контуры интегрирования

При интеграл

равен интегралу, вычисленному по контуру комплексной плоскости, показанному на рис. 9.2,а. Действительно, на дуге радиуса выполняется

, ,

и функции

,

.

В результате интеграл по контуру сводится к интегралу по вещественной оси.

Полюс

обходится в положительном направлении. Для интеграла по контуру получаем

,

где

,

, .

Вычет отношения функций вычисляется по формуле

.

Находим

.

При интеграл по дуге равен нулю на контуре рис. 9.2,б. Полюс обходится в отрицательном направлении, тогда получаем

.

Результаты при идля,, объединяет решение длязапаздывающей функции Грина

,

,

, (П.10.2)

где использовано (2.33)

.

Для фазаувеличивается, когда точка наблюденияx отодвигается от источника в точке , следовательно,волна расходится от источника. Выполняется условие излучения Зоммерфельда для запаздывающей волны

.

При выборе замены , где, полюса на рис. 9.2 меняют положения, их мнимая проекция меняет знак, контуры интегрирования сохраняются. Вычисление аналогичное предыдущему даетопережающую функцию Грина

,

,

. (П.10.3)

Фаза волны (П.10.3) в виде увеличивается при приближенииx к , следовательно,волна сходится к источнику. Граничное условие на бесконечности

соответствует опережающей волне.

Рассмотренные варианты выбора

, ,

обеспечивающие однозначность интеграла, соответствуют разным граничным условиям при . Как показывает опыт в природе выполняетсяпринцип причинности и реализуется лишь запаздывающая функция Грина, что соответствует замене волнового числа

, . (П.10.4)

Запаздывающая функция Грина для рассматриваемой системы удовлетворяет условиям сшивания (9.14), (9.15)

,

,

и уравнению

. (П.10.5)

Действительно, фурье-образ (П.10.5) дает запаздывающую передаточную функцию (П.10.2)

.

Из результатов (П.10.2) и (П.10.3)

,

следуют размерности функции Грина и передаточной функции

, .

При комплексном сопряжении запаздывающая и опережающая функции переходят друг в друга

,

, (П.10.6)

что соответствует обращению времени.