Определение терминологии «фрактала»

Фракталы! У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

• Обладает сложной нетривиальной структурой при любом увеличении (на всех масштабах). В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

• Является (приближённо) самоподобной.

• Обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью или превосходящей топологическую.

• Может быть построена рекурсивными процедурами.

В работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus - дробный).

Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая - это одномерный объект, а плоскость - двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

Многие замечательные свойства фракталов открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции и рассматривают поведение последовательности . В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который ещё в 1979 г. исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только к вещественным, функциям. Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни. многие уже видели красочные постеры с изображением множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного.

Изучение фракталов открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Исаак Ньютон понимал это, говоря «Если я видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».