NG-task / NG / lessons-NG

Виды проецирования.

Одно из основных геометрических понятий - отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства – плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

В основу любого изображение положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точкуS(рис.1.1) в качествецентра проецированияи плоскостьП_i, не проходящая через точкуS, в качествеплоскости проекций( картинной плоскости). Чтобы спроецировать точкуАна плоскостьП_i, через центр проецированияSпроводят лучSАдо его пересечения с плоскостьюП_iв точкеА_i. ТочкуА_iпринято называтьцентральной проекциейточкиА, а лучSА-проецирующим лучом.

Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированиемточек пространства на плоскость.

В евклидовом пространстве существуют точки, которые не имеют центральных проекций, и наоборот в плоскости П_iесть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов (точкиDиF).

Точка Fпрямой m принадлежит плоскости ,Ω, проходящей через центр проецированияSи расположенной параллельно плоскости проекций, таким образом проецирующий лучSFпараллелен плоскости проекций, а точкаF, как и все точки лежащие в плоскостиΩне имеют центральных проекций наП_i.

Рисунок 1.1. Центральное проецирование

Точка D_iпроекции прямой m_i не имеет оригинала на прямой m, так как проецирующий луч SD_i параллелен прямой.

Для исключения подобных случаев евклидово пространство расширяют введением несобственных (бесконечно удаленных) точек. Такое пространство называется расширенным евклидовым пространством.

Проецирующие лучи, проведенные через все точки кривой n, образуют проецирующую коническую поверхность N (рис. 1.2). Проекция криволинейной фигуры, таким образом, представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности N и плоскости проекций П_i.


Рисунок 1.2. Центральное проецирование линии	Рисунок 1.3. Центральное проецирование поверхности

Коническую поверхность К образуют лучи и при проецировании трехмерной фигуры (рис. 1.3). Линию K_i принято называть в этом случая очерковой или очерком данной фигуры.

Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости.

Основными и неизменными его свойствами (инвариантами) являются следующие:

1) проекция точки – точка;

2) проекция прямой – прямая;

3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

Частный случай центрального проецирования –параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецированияS(рис.1.4). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:

проекции параллельных прямых параллельны между собой;
отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;
отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, икосоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90⁰.

Рисунок 1.4. Параллельное проецирование

Таким образом ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного и полученная этим методом проекция объекта называется ортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и кроме того, справедливатеорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

2. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета;

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

Лекция №1-2

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

В проекциях с числовыми отметками плоскость проекций П_iназывают плоскостью нулевого уровня и обозначаютП₀. Идея этого метода состоит в том, что на плоскость П₀ортогонально проецируют точку и вместе с проекцией точки задают ее расстояние до плоскостиП₀(рис. 1.5). Это расстояние называютчисловой отметкойточки и задают обычно в метрах. Числовую отметку точки пишут внизу справа от обозначения ее изображения.

Если плоскость нулевого уровня расположена горизонтально, то чертеж называют планом.На плане всегда указывают линейный масштаб и при необходимости дают ориентацию относительно сторон света.

Очень удобно в проекциях с числовыми отметками изображать линии уровня, все точки которых имеют одинаковые отметки. Линии уровня проецируются на П₀без искажения своей формы (применяется в картографии).

Проекции с числовыми отметками позволяют просто решать многие задачи. Обратимость чертежей в проекциях с числовыми отметками очевидна.

Рисунок1.5. Сущность метода с числовыми отметками

Зарождение идеи этого метода относят к средним векам. Уже тогда многие народы, пользующие картами с показаниями морских глубин, умели изображать точку при помощи ее проекции и отметки. Однако теоретическое обоснование метод получил лишь в 19 веке (французский военный инженер – капитан Нуазе, 1823г.).

Чертежи в проекциях с числовыми отметками построены на одной плоскости проекций – на одной картине и часто называютсяоднокартинными.

МЕТОД МОНЖА

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Г. Монжем.

Гаспар Монж крупный французский геометр конца 18, начала 19 веков, 1789-1794 гг. один из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участник работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа"Geometrie descriptive".

Изложенный Монжем метод - метод ортогонального проецирования, причем берутся две проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, - обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.1.6). Одну из плоскостей проекций П₁располагают горизонтально, а вторуюП₂- вертикально.П₁- горизонтальная плоскость проекций, П₂- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x₁₂.

Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Рисунок 1.6. Пространственная модель двух плоскостей проекций

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П₁ совмещают вращением вокруг оси x₁₂ с плоскостьюП₂ (рис.1.6).Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром (Франц. Epure – чертеж.).Эпюр часто называют эпюром Монжа.

Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные(многогранники, одномерные и двумерные обводы).

Рассмотрим способы их образования, графического задания и возможные варианты положения по отношению к плоскостям проекций.

Лекция №2-1

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций.

ТОЧКА

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

В современной математике точкой называют элементы весьма различной природы, из которых состоят различные пространства (например, в n-мерном евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n- чисел).

ТОЧКА В ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 2.1. показана точка А и ее ортогональные проекции А₁и А ₂.

Точку А₁ называют горизонтальной проекцией точки А, точка А₂ - ее фронтальной проекцией. Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x₁₂ и пересекающих эту ось в одной и той же точке А _x.

а) модель

б) эпюр

Рисунок. 2.1. Точка в системе двух плоскостей проекций

Справедливо и обратное, т. е. Если на плоскостях проекций даны точки А₁и А₂ расположенные на прямых, пересекающих ось x₁₂ в точке А_x под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А₁ и А₂ окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси x₁₂. При этом расстояние А₁А_x -от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₂, а расстояние А₂А_x - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₁.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.


а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.2. Точки в различных четвертях пространства

На рисунке 2.2 представлены точки A B C D, расположенные в разных четвертях пространства и их эпюр (A- в первой четверти, B-во второй, C- в третьей и D- четвертой четверти)

Лекция №2-2

ТОЧКА В ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П₃, расположенную перпендикулярно к П₁ и П₂. В соответствии с ГОСТ 2.305-68 плоскости проекций П₁ П₂ и П₃ относятся к основным плоскостям проекций.


а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.3. Точка в системе трех плоскостей проекций Заказать перевод

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 2.3. Третья плоскость, перпендикулярная и П₁,и П₂,обозначается буквой П₃ и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x,0yи0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке0.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П₁иП₃вращают, как показано на рисунке 2.4, до совмещения с плоскостьюП₂. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , yиz (абсцисса, ордината и аппликата).

Рисунок 2.4. Получение эпюра

Таблица 2.1.Знаки координат в октантах

Октант	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	+	+	+	-	-	-	-
y	+	-	-	+	+	-	-	+
z	+	+	-	-	+	+	-	-

Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частное положение относительно плоскостей проекций. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимает общее положение.

Заказать перевод

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК

Можно выделить три основных варианта взаимного расположения точек:

1.Пусть точки А и В (рис.2.5) расположены в первой четверти так, что:

- Y_А>Y_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₂ и ближе к наблюдателю, чем точка В

- Z_А>Z_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₁ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- X_А<X_В. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П₃ и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А;


а) модель		б)эпюр
Рисунок 2.5. Взаимное расположение точек

2.– Y_А=Y_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₂ и их горизонтальные проекции расположатся на прямой А₁В₁// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₂.

– Z_А=Z_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₁ и их фронтальные проекции расположатся на прямой А₂В₂// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₁.

– X_А=X_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₃ и их горизонтальные и фронтальные проекции расположатся, соответственно, на прямых А₁В₁// y и А₂В₂//z . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₃.

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 2.6 даны три пары таких точек, у которых:

а) модель

б) эпюр

Рисунок 2.6. Конкурирующие точки

X_А=X_D;Y_А=Y_D;Z_А>Z_D;
X_A=X_C;Z_A=Z_C;Y_A>Y_C;
Y_A=Y_B;Z_A=Z_B;X_A>X_B;

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD ; фронтальноконкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

Содержание