Интерполяционный многочлен Лагранжа

Теорема. Для любого набора точекx_i, и любого набора значенийy_i, существует единственный интерполяционный многочлен P_n(x) степени не выше n, т.е.

P_n(x_i) = y_i для всех . (4)

Доказательство:

Рассмотрим многочлен, где

Заметим, что

Проверим, что многочлен P_n(x) – искомый. В самом деле:

P_n(x_k) = y₀ × 0 + ... + y_k-1 × 0 + y_k × 1 + y_k+1 × 0 + ... + y_n × 0 = y_k

Докажем теперь единственность многочлена P_n(x) со свойством (4). Предположим, что таких многочленов два:P₁(x) иP₂(x), оба степени не выше n. Рассмотрим многочленP(x) = P₁(x) – P₂(x).

Тогда P(x_i) = P₁(x_i) – P₂(x_i) = y_i – y_i = 0 для всех , т.е. он имеет как минимум n+1 корень. При этом степень многочленаP(x) не вышеn. Но, как известно из алгебры, ненулевой многочлен степени nне может иметь большеn корней. Следовательно,P(x) = 0 иP₁(x) = P₂(x).

Замечание: многочленP_n(x) из этой теоремы называется интерполя­ционным многочленом Лагранжа.

Примеры интерполяционных многочленов Лагранжа.

1) n =1 – интерполяция по двум точкам –x₀ иx₁.

Сравните P₁(x) с уравнением прямой, проходящей через точки (x₀,y₀) и (x₁,y₁).

2) n =2 – интерполяция по трем точкам –x₀, x₁ иx₂.