Понятие устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

Т3:( Теорема Четаева о неустойчивости.) Если существует диф. функция ,которая называется функцией Ляпунова в некоторой замкнутой окрестностиh-нач. координат удовлетворяет:

1) В сколь угодно малой окрестности нач. координат существует областьв которой ф. ЛяпуноваV>0 на границе этой области v=0.

Рисунок.

2) Внутри области производная вдоль траектории (1)

3)В области

-const.,то сис. (1) явл. неустойчивым.

Док-во

Возьмем произвольную точку внутри сколь угодно малой окрестности нач. координат внутрив качестве начальной точки нек. траектории сис (1)

Т.к. выполнимо 2, то вдоль нашей траектории пока она не покинет пределы h окрестности производная будет неотриц. т.е. пока траектория не покинет h окрестность, ф. Ляпунова будет монотонно возрастать фун-ей параметра t. То функция

То траектория будет находиться в области .

Пусть наша траектория при не покинетh окрестности.

Всюду выполняется:

интегрируем

Правая часть неограниченно

возрастающая функция, то левая тоже.То любая непрерывная функция на любом ограниченном мн-ве ограничена.

То по опр. точка покоя неустойчива. ч. т. д.

№40