Метод простой итерации – приближенный метод решения слу

В отличии от метода Гаусса метод простой итерации применим только в том случае, если выполняется условие диагонального преобладания для всех (т.е. диагональный элемент каждой строки по модулю больше суммы модулей остальных элементов этой строки).

После этого исходную СЛУ приводят к виду, удобному для итерации. Для этого из первого уравнения выражаем x₁через все остальные (x₂, x₃,...,x_n), из второго –x₂через все остальные (x₁, x₃,...,x_n), и т.д. При этом получается система, равносильная исходной системе (1), следующего вида:

где приi ¹ j, c_ii = 0, .

После этого делаем по формуле(3) метода простой итерации несколько последовательных итераций, начиная с.

(3)

После нескольких итераций последовательность приближенных решений x^(k)достаточно близко подойдет к точному решению системы – это произойдет в тот момент, когда два последовательных приближенияx^(k+1)иx^(k)будут мало отличаться друг от друга. После этого итерационный процесс обрывают.

Пример СЛУ, решенной методом простой итерации.

Проверяем, что выполняется условие диагонального преобладания:

ï 4 ï > ú -1 ï + ú 2 ï; ï -5 ï > ú -2 ï + ú 1 ï;ï 4 ï > 1 + ú -2 ï.

После этого приводим систему к виду, удобному для итераций.

Получаем:, находим

.

Далее находим

Аналогично находятся последующие приближения X⁽³⁾, X⁽⁴⁾ и т.д.

Сравнив и, можно заметить, что они отличаются друг от друга очень незначительно (в третьем знаке после запятой) и, следовательно, в качестве решения с точностьюe=10^-2можно взятьX⁽¹⁰⁾ . Для сведения:точное решение этой СЛУ –.