logo
PRZ_-_shpory

12. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Т еорема. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. Доказательство. Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD – как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE. Значит AO биссектриса угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника.

Удобно уметь вычислять площадь, если даны три стороны.

Так как S = 0,5aha; ha = , где р – полупериметр треугольника; поэтому, S = . Эта формула была известна еще в древнем мире и носит название формулы Герона.

Е

Рис. 4

сли знать эту формулу, то любую высоту треугольника удобно вычислять, посчитав предварительно площадь треугольника.

Выведем формулу, связывающую площадь треугольника с радиусом вписанной окружности (см. рис. 4).

S = SAOB + SBOC + SCOA = 0,5cr + 0,5ar + 0,5br = pr.

Также существует формула: , где - высоты треугольника