21) Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Порядок дифференциального уравнения. Общее и частное решение. 1) Определение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию y=y(x) и её производные y’,y”,…

F(x,y,y’,y”, … , )=0 (n обозначает n-ую производную)

Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

1) Измерение стоимости оборудования

Пусть S(t)-стоимость оборудования в момент времени t. Известно, что ст-ть оборудования снижается со временем за счёт износа. Скорость обесценивания в любой момент времени пропорциональна фактической ст-ти в данный момент. Поэтому S(t) удовлетворяет уравнению: S’(t)=-kS(t) , где k>0 – константа

Ст-ть падает, поэтому производная S’ отрицательна  знак справа – минус.

2) Свободное падение

Камень бросают с башни высоты h0=50м. Как меняется расстояние до земли со временем?

Пусть h=h(t) – высота, на которой камень находится через t секунд после начала падения. Известно, что ускорение, т.е. h” – постоянная величина, равна 9,8м/ . Поэтому h”(t)=-g

3) Известно, что скорость размножения бактерий положительна и пропорциональна их общему кол-ву, т.е. массе. Пусть m=m(t) – масса в момент времени t. Тогда dm/dt=km(t), k>0

4) тело, имеющее в начальный момент времени t=0 температуру Т0=100˚ охлаждается в воздушной среде до температуры Т1=60˚ за время t1=20минут. Температура воздуха равна 20˚. Скорость охлаждения пропорциональна разности между температурой тела и температурой охлаждающей среды. За какое время тело охладится до температуры 30˚?

Пусть Т=Т(t) – температура в момент времени t. Тогда dT/dt=k(T-20). Т(0)=100.

Необходимо найти t2, при котором Т(t2)=30/

Решение.

=k. Обозначим Т-20=Х  y’/y=k, т.е. (lny)’=k. Поэтому lny=kt+b, и y= = =c , где с-константа(с>0)

1) При t=0 y=T-20=C =c. Так как Т=100˚ 100-20=C, С=80

2) При t=20 T=60˚60=80  = и Т=80 +20=80* +20

3) при t=t2 должно быть 30=80* +20, поэтому =3 и t2=60.

Следовательно тело охладиться до температуры 30˚ через 60 минут.

Порядок дифференциального уравнения.

Порядком дифф уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

Определение.

Функция y=f(x) называется (частным) решением уравнения, если при подстановке её в уравнение оно становится тождеством.

Определение.

Функция y=y(x,c1, … , cn) от одной переменной х, зависящая от n независимых параметров c1, …, cn называется общим уравнением F(x,y,y’,y”, … , )=0 n-го порядка, если при любых конкретных значениях параметра с1, …, cn она является его частным решением.

Начальные условия. Если ищется решение дифф уравнения F(x,y,y’,y”, … , )=0 в области х≥х0, то значения y0=y(x0), y’0=y’(x0), … , = называют начальным условием.

Общее и частное решение уравнения.

Определение

Общим решением уравнения y’=f(x,y) в некоторой области G плоскости Oxy называется функция y=φ(x,C) , зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях таких, что (х0,y0) G, существует единственное значение постоянной С=С0 такое, что функция y=φ(x,C0) удовлетворяет данным начальным условиям φ(x0,C)=y0.

Определение

Частным решением уравнения y’=f(x,y) в области G называется функция y=φ(x,C0), которая получается из общего решения y=φ(x,C) при определенном значении постоянной С=С0