Решение квадратных уравнений и неравенств

Историческая справка

Квадратные уравнения и способы их решения были известны в глубокой древности. Так ещё за две тысячи лет до нашей эры задачи измерения земельных участков приводили древних вавилонян к решению квадратных уравнений.

В древней Греции (Пифагор, Евклид) квадратные уравнения решались гео­метрическим методом.

Знаменитый узбекский математик аль-Хорезми решал квадратные уравнения как алгебраическим, так и геометрическим методами.

Так как общая формула решения квадратных уравнений тогда ещё не была выведена, то аль-Хорезми приводит решения шести различных видов квадратных уравнений, например:

1. Один квадрат равен корням (х² = ах).

2. Один квадрат и корни равны числу (х² + ах = Ъ).

3. Один квадрат и число равны корням (х² + а ~ Ьх) и т.д.

Приведем примеры решения уравнений аль-Хорезми алгебраическим и геометри­ческим методами.

Пример 1.

^ + 21 = 10*.

Алгебраический метод

1. Раздели число корней пополам: 10:2 = 5.

2. Умножь это число само на себя; 5*5 = 25.

3. Вычти из него число: 25 — 21 =4.

4. Извлеки квадратный корень: л/4 =2.

5. Этот корень прибавь к половине корней или вычти из неё: 5 + 2 = 7; 5—2 = 3.

Если записать все приведенные действия одной формулой, то получим:

73