2.3. Силлогистика

В предыдущем пункте был упомянут термин «силлогизм». Его необходимо ввести в главу для того, чтобы сформулировать понятие «силлогистика», т.к. термин является частью достаточно важной логическое теории.

Силлогизм – умозаключение, в котором на основании нескольких суждений с необходимостью выводится новое суждение - заключение. В отличие от силлогизма, как умозаключения посредственного, непосредственным умозаключением называется то, в котором заключение получается из данного суждения без помощи другого.

Силлогистика – это одна из самых первых логических теорий, построена Аристотелем. В ней исследуются логические связи между атрибутивными высказываниями – высказываниями о факте или характере наличия или отсутствия некоторого свойства у отдельного предмета или предметов некоторого класса. Термин, представляющий предмет или класс предметов, которым приписывается свойство, - это субъект атрибутивного высказывания, а термин, представляющий свойство, - его предикат. В основу классификации атрибутивных высказываний могут быть положены различные основания. По количеству атрибутивные высказывания делятся на единичные, в которых признак предицируется отдельному предмету и субъектом которых является сингулярный термин, и множественные, в которых утверждение относится к предметам некоторого класса, а субъект выражен так называемыми обобщающими терминами (универсалиями). Среди множественных высказываний выделяют общие (содержащие квантор общности) и частные (содержащие квантор существования) высказывания. По качеству рассматриваемые высказывания делятся на утвердительные (с утвердительной предицирующей связкой «есть»), и отрицательные (с отрицательной предицирующей связкой «не есть»). По модальности атрибутивные высказывания делятся на ассерторические (фиксирующие факт присущности или не присущности свойства) и модальные (указывают на характер предикации – необходимый, возможный или случайный). Атрибутивные ассерторические высказывания являются категорическими.

Силлогистика как строгая логическая теория была создана Аристотелем. Аристотель и средневековые логики рассматривали два типа силлогистических теорий – ассерторическую и модальную силлогистики. Ассерторическая силлогистика – это совокупность теорий вывода из ассерторических и категорических высказываний. Модальная силлогистика состоит из ассерторических и модальных высказываний.

В ассерторической силлогистике исследуются логические отношения между категорическими высказываниями следующих логических форм: 1. Всякий S есть P (SaP) – общеутвердительные (высказывание типа a), 2. Всякий S не есть P (SeP) – общеотрицательные (высказывание типа e), 3. Некоторый S есть P (SiP) – частноутвердительные (высказывание типа i), 4. Некоторый S не есть P (SoP) – частноотрицательные (высказывание типа o), 5. ν есть P – единичноутвердительные, 6. ν не есть P – единичноотрицательные. Знаки a, e, i, o – силлогистические константы.

С семантической точки зрения различают типы терминов – универсалии (классы предметов) и сингулярные термины (отдельные предметы или единичные классы). Только универсалии составляют чистую силлогистику, вместе с сингулярными терминами – сингулярную силлогистику.

С синтаксической точки зрения универсалии могут быть простыми (в их составе не выделяются другие термины) и сложными (в их составе есть другие термины). Сложные термины образуются из простых с помощью терминообразующих операторов – терминного отрицания, терминной конъюнкции, терминной дизъюнкции и др.

Позитивная силлогистика – это совокупность таких теорий выводов, в которых не учитывается внутренняя структура терминов и в языке этих теорий не терминообразующих операторов. Негативная силлогистика включает в себя единственный терминообразующий оператор – терминное отрицание. Расширенную силлогистику составляют теории выводов из высказываний как с простыми, так и различного рода сложными субъектами и предикатами. В язык кванторных силлогистик вводятся переменные по универсалиям, а также кванторы общности и существования, позволяющие эти переменные связывать.

Также существуют чисто семантические членения силлогистических теорий: экзистенциальные – те, в которых на все универсалии исходно накладывается ограничение объёмной пустоты, и неэкзистенциальные. Неэкзистенциальные делятся на свободные силлогистики, в которых не накладывается никаких ограничений на непустоту терминов, и на универсальные, в которых допускается пустота универсума. Универсальные делятся на экстенсиональные, где универсалиям сопоставляются в качестве знаний классы предметов, и интенсиональные, где возможными значениями универсалий являются множества признаков.

Все возможные отношения между двумя терминами S и P по объёму задаются 15 модельными схемами:

Рис. 1.Модельные схемы отношений между двумя терминами S и P

В случае универсальной силлогистики, допускающей пустой универсум рассуждения, справедлива ещё одна модельная схема, на которой все термины и универсум пустые:

Рис. 2. Модельная схема, на которой все термины и универсум пустые

При аксиоматическом построении силлогистических систем постулируют некоторые наиболее фундаментальные их типы: 1. Умозаключения простого категорического силлогизма или силлогизмы. Это двухпосылочное умозаключение, в котором каждая из посылок и заключение представляют собой высказывания одного из четырёх типов: a, e, i, o. Состоит из трёх терминов: субъект заключения – меньший термин (S), предикат заключения – бо́льший термин (P), термин, входящий в обе посылки, - средний термин (M). Посылка с большим термином – бо́льшая посылка, с меньшим – меньшая. Всё множество силлогизмов можно разбить на четыре класса в зависимости от расположения среднего термина. Типы силлогизмов с одинаковым расположением терминов в посылках – фигуры силлогизма.

Рис. 3. Фигуры силлогизма

Каждый силлогизм, подпадающий под ту или иную фигуру, с определёнными количественными и качественными характеристиками посылок и заключения – это модус данной фигуры. Наименование модуса содержит три гласных латинских буквы, первая буква указывает тип большей посылки, вторая - тип меньшей посылки, третья - тип заключения. В каждой фигуре 64 модуса силлогизмов, правильных (в них заключение логически следует из посылок) из них 24 силлогизма – по 6 модусов в каждой фигуре.

Рис. 4. Таблица правильных модусов

В данном списке девятнадцать совершенных (заключение которых является наиболее сильным следствием из данных посылок в данной фигуре) модусов, а также пять несовершенных модусов: в I фигуре - Barbari (ослабление Barbara), Celaront (ослабление Celarent), во II фигуре - Camestrop (ослабление Camestres), Cesaro (ослабление Cesare), в III фигуре несовершенных модусов нет, в IV фигуре - Camenop (ослабление Camenes).

2. Выводы по логическому квадрату как частный случай однопосылочных (непосредственных) умозаключений. Контрарность (SaP ├ ┐SeP) – выражения могут быть одновременно ложными, субконтрарность (┐SiP ├ SoP) – выражения могут быть одновременно истинными, противоречие (SaP ┤├ ┐SoP) – выражения не могут быть ни одновременно ложными, ни одновременно истинными, подчинение (SaP ├ SiP) высказывания B высказыванию A- при истинности A высказывание B обязательно истинно. Диаграмма логического квадрата:

Рис. 5. Диаграмма логического квадрата

3. Часто в силлогистике указанные дедуктивные принципы выражаются формулами, имеющими статус законов: 3.1. ┐(SaP & SeP) – закон контрарности; 3.2. SiP ˅ SoP – закон исключенного третьего; 3.3. SaP ≡ ┐SoP, SeP ≡ ┐SiP – законы диагоналей; 3.4. SaP ⸧ SiP, SeP ⸧ SoP – законы подчинения

4. Обращение – это однопосылочное силлогистическое умозаключение, в котором субъект заключения совпадает с предикатом посылки, а предикат заключения с субъектом посылки. Чистое обращение – когда количественная характеристика высказывания в ходе умозаключения не меняется. Обращение с ограничением – когда количественная характеристика изменяется. Для высказываний типов e и i правильным считается чистое обращение (SeP ├ PeS, SiP ├ PiS), для высказываний типа a правильное только обращение с ограничением (SaP ├ PiS). Высказывания типа o вообще корректно не обращаются.

5. Превращение – это непосредственное умозаключение, в котором меняется связка с утвердительной на отрицательную и наоборот, а также меняется предикат на противоречащий ему при переходе от посылки к заключению. Традиционно корректные следующие превращения: SaP ┤├ Se~P, SiP ┤├ So~P, SeP ┤├ Sa~P, SoP ┤├ Si~P.

6. Законы силлогистического тождества SaS, SiS – с семантической точки зрения несут информацию о непустоте универсалии S (SaP ⸧ SaS, SiP ⸧ SiS, SoP ⸧ SiS).