2.2. Задача о «расшивке узких мест производства»

Сформулируем задачу о расшивке «узких мест производства» и составим ее математическую модель.

Решив задачу о рациональном использовании имеющихся ресурсов, мы выяснили, что первый и третий виды ресурсов расходуются полностью, т.е. образуют «узкие места производства». Будем расширять производство за счет увеличения объема дефицитных ресурсов.

Задача о «расшивке узких мест производства» заключается в составлении плана приобретения дополнительных ресурсов, который обеспечит максимально возможный прирост прибыли, при условии сохранения структуры плана производства, т.е. набора видов продукции, производимых по оптимальному плану.

Пусть T (t1, t2, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов, каждая компонента которого обозначает искомое дополнительное количество соответствующего вида ресурса. Поскольку дополнительно мы заказываем только дефицитные ресурсы, а второй ресурс является избыточным, то t2* = 0

Прирост прибыли, приходящийся на дополнительное количество какого-либо вида ресурса, равен произведению дополнительного количества этого ресурса на его двойственную оценку (напомним, что двойственные оценки ресурсов найдены решением предыдущей задачи), а суммарный прирост прибыли от увеличения количества ресурсов будет равен:

W = 6t1 + 0t2 + 5t3 = 6t1 + 5t3

Так как условием задачи является сохранение структуры производства, то должно выполняться характеризующее такое условие неравенство:

H + Q^-1T ≥ 0,

где Q^-1 - обращенный базис, т.е. матрица, которая содержится в последней симплексной таблице на месте единичной матрицы в первой симплексной таблице, Н – вектор оптимальных значений базисных переменных в последней симплексной таблице, а Т – искомый вектор дополнительных объемов ресурсов.

Выполнение данного неравенства обеспечивает также устойчивость (неизменность) двойственных оценок ресурсов, которая необходима, поскольку в решении задачи о «расшивке узких мест производства» используются ранее найденные двойственные оценки ресурсов.

В данном случае также должно выполняться условие, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида:

T ≤ 1/3 B

Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

Найти вектор дополнительных объемов ресурсов T (t1, 0, t3),

максимизирующий суммарный прирост прибыли W = 6t1 + 5t3 → max,

при условии сохранения структуры

производственной программы

идвойственных оценок ресурсовH + Q^-1T ≥ 0:

26 2/3 0 -1/2 t1

4 + 0 1 -1/2 * 0 ≥ 0

36 -1/3 0 1/2 t3

ИЛИ

- 2/3 t1 + 1/2t3 ≤ 26

Область устойчивости 1/2t3 ≤ 4

двойственных оценок ресурсов 1/3t1 – 1/2t3 ≤ 36

где по дополнительному условию задачи t1 ≤ 186/3

t3 ≤ 196/3

и по смыслу задачи t1 ≥ 0, t3 ≥ 0

Приходим к задаче линейного программирования с двумя переменными.

Решим задачу о «расшивке узких мест» графически.

Построим систему координат, где на горизонтальной оси будем откладывать значения t1, а на вертикальной – t3, причем нас интересует только правая верхняя полуплоскость данной системы, поскольку по условию задачи t1 ≥ 0, t3 ≥ 0.

Каждое линейное неравенство-ограничение на графике определяет полуплоскость допустимых значений переменных этого неравенства вместе с ограничивающей данную полуплоскость прямой, множество точек которой является решением соответствующего неравенству линейного уравнения:

- 2/3 t1 + 1/2t3 = 26 – ограничивающая прямая I Множество точек треугольника, ребрами

1/2t3 = 4 – ограничивающая прямая II которого являются I,II и III прямые, образует

1/3t1 – 1/2t3 = 36 – ограничивающая прямая III область устойчивости двойственных оценок ресурсов, в которой сохраняется структура программы производства.

t1 = 186/3

- ограничивающие прямые IV, V

t3 = 196/3

Вся система линейных неравенств определяет общую часть таких полуплоскостей, представляющую собой выпуклый четырехугольник множества допустимых решений данной системы неравенств OPQR (закрашен серым).

Построим вектор-градиент grad W = (0, 0); (6, 5), указывающий направление наискорейшего возрастания функции W. Линии уровня функции W перпендикулярны вектору-градиенту grad W и образуют семейство параллельных прямых.

Перемещаем линию уровня функции W в направлении вектора-градиента grad W, не выходя при этом за пределы допустимого множества (четырехугольника OPQR), до крайней точки допустимого множества.

Определяем, что максимального значения в области допустимого множества функция W достигнет в точке Q, которая является пересечением II и IV прямых. Следовательно, координаты этой точки определяют оптимальное дополнительное количество ресурсов:

t1 = 186/3 t1* = 62

1/2t3 = 4 t3* = 8

Максимальный дополнительно возможный прирост прибыли за счет увеличения количества дефицитных ресурсов равен:

W* = 6t1* + 5t3* = 6*62 + 5*8 = 412 денежных единиц

Сводка результатов по 1-му,2-му заданиям приведена в таблице: