Метод Гаусса – точный метод решения слу

Основная идея метода Гаусса – с помощью элементарных преобразований строк (не забывая при этом правые части) сделать матрицуAтреугольной. После завершения этих действий – прямого хода метода Гаусса – последовательно находятся сначала (из последнего уравнения)x_n, потом (из предпоследнего) –x_n-1и т.д., вплоть доx₁. Этот этап называется обратным ходом метода Гаусса.

Рассмотрим подробнее прямой этап метода Гаусса.

Сначала обнуляем все элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого:

• умножаем первую строку на и прибавляем ко второй (при этом обнуляется элементa₂₁);

• умножаем первую строку на и прибавляем к третьей (при этом обнуляется элемент a₃₁);

и т.д. (сама первая строка не меняется). В результате в первом столбце везде ниже ведущего диагонального элемента a₁₁ будут нули. Если же ведущий элемент был равен нулю, то необходимо переставить 2 строки так, чтобыa₁₁¹0.

Затем обнуляем все элементы второго столбца ниже главной диагонали. Для этого умножаем вторую строку на и прибавляем к третьей (при этом обнуляется элементa₃₂) и т.д.

Подобную процедуру необходимо проделать со всеми (кроме последнего) столбцами матрицы A, после чего она станет треугольной.

Пример решения СЛУ методом Гаусса.

(2)

Запишем систему в матричном виде и проделаем все преобразования прямого хода

=®

=

Закончился прямой ход метода Гаусса, получили треугольную матрицу. Запишем соответствующую ей СЛУ:

Из третьего уравнения находим, что x₃ = 2. Подставив найденныйx₃ во второе уравнение, находимx₂ = 1. Подставив найденныеx₃ иx₂ в первое уравнение, находимx₁ = 0.

При машинной реализации выгоднее использовать не обычный метод Гаусса, а его модификацию – метод Гаусса с выбором ведущего элемента. Единственное его отличие от обычного метода состоит в том, что при обнулении элементов j-го столбца в качестве ведущего элемента выбирается наибольший по модулю среди возможных (т.е. среди стоящих вj-ом столбце не выше главной диагонали). После этого 2 строки (j-я и та, где стоит наибольший элемент), меняются местами. Модифицированный метод Гаусса при вычислении на ЭВМ более эффективен.

Пример решения СЛУ модифицированным методом Гаусса.

Рассмотрим систему (2) сразу в матричной записи:

Дальше, как и в обычном методе Гаусса, последовательно находимx₃ = 2,x₂ = 1,x₁ = 0.