Примечание

То, что - нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

- сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

- сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени - простой можно доказать, что при и нечетных

(3) - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. - 1988. - №10. - С. 23).

*******

Пусть (4),

где - нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(5),

где - четное число, которое можно представить в виде

(6),

где - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),

(4) - нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е. (7), где - целое число (), - натуральное число.

Сумму же нечетных чисел и обозначим через , т.е.

(8),

где - целое число (, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

=> =>

Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и - четном, т.к. , причем (12) (явно) при .

********

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13) - нечетное число;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14) (явно) при .

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

Таким образом, получили следующее уравнение:

(15),

где - целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

(16) - нечетное число при - нечетном;

(17) - нечетное число при - нечетном;

(18) - нечетное число при - нечетном;

(19) - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).

*******