§ 1. Великая теорема Ферма

1. Из истории проблемы. Сочинение Диофанта, изданное в 1621 году в переводе Клода Гаспара де Баше де Мазирьяка (1581-1630), дало повод Пьеру Ферма записать на полях перевода одно из самых достопримечательных замечаний в истории математики:

“Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось”.

Таким образом, большая или Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, ни при каком натуральном n, большем двух, неразрешимо в целых положительных числах.

В 1908 году Пауль Вольфскель завещал премию в 100 тысяч германских марок тому, кто первым представит доказательство. В результате инфляции после первой мировой войны величина премии в настоящее время ничтожна. К тому же как указывает Г. Эдвардс в своей книге о теореме Ферма, премия была назначена лишь за доказательство предположения – нахождение контрпримера не принесло бы ни пфеннига его открывателю !

После объявления о премии Великой теоремой Ферма занялись не только профессионалы, но и широкая публика. Так как в условие награждения входило требование, чтобы доказательство было опубликовано, а научные издательства не желали принимать ложных доказательств, то авторы печатали свои доказательства на собственный счет. Так во многих странах, в том числе и в России, появилось много печатных неправильных доказательств Великой теоремы Ферма.

Общим свойством этих “доказательств” является то, что они ошибочны уже для наименьшего показателя в теореме Ферма, а именно, для показателя n = 3. Авторы этих работ, преимущественно не математики, оперировали только элементарными средствами. Между тем, известное правильное доказательство уже для показателя n = 3 является неэлементарным.

Справедливость Великой теоремы Ферма для некоторых частных случаев была установлена уже довольно давно: сам Ферма оставил доказательство отсутствия нетривиальных решений уравнения хⁿ + yⁿ = zⁿ при n = 4, Л. Эйлер доказал теорему Ферма для n = 3 (1770 г), А. Лежандр – при n = 5 (1825 г), и Г. Лаше – для n = 7 (1839 г).

Замечательные продвижения принадлежат Э. Куммеру (1810-1893), который своими исследованиями по проблеме Ферма оказал решающее влияние на развитие алгебраической теории чисел. В XX столетии его методы были усовершенствованы и дополнены (1929 г. и позже) прежде всего благодаря усилиям У. Вандивера, Д. Лемера и Э. Лешера. К 80-м годам XX в. с использованием ЭВМ неразрешимость уравнения хⁿ + yⁿ = zⁿ в натуральных числах была установлена для всех n  2¹²⁵⁰⁰⁰ (З. Вагштафф, 1976 г.). Если принять во внимание, что число 2¹²⁵⁰⁰⁰ записывается 37628-ю цифрами, то поиски контрпримера к Великой теореме Ферма представлялись совершенно безнадежным занятием.

23 июня 1993 г. математик из Принстона Эндрю Уайлс в докладе на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания) анонсировал решение проблемы Ю. Таниямы (о модулярности эллиптических кривых с рациональными коэффициентами). Ранее уже было доказано (в 1985 г. Г. Фрей выдвинул гипотезу, которую в 1986 г. доказал К. Рибет), что из доказательства проблемы Таниямы следует утверждение Великой теоремы Ферма. Однако, в начале декабря 1993 г., когда рукопись Э. Уайлса уже готова была отправиться в печать, в его доказательстве были обнаружены пробелы. Автор извинился и попросил 2 месяца для исправления. Только через год с небольшим появилось полное доказательство гипотезы Таниямы, но уже двух авторов – Э. Уайлса и Р. Тейлора. Пока специалисты новых пробелов в этой работе не нашли.

Сама по себе Великая теорема Ферма не имеет большого значения для математики. Однако она сыграла важную роль для развития теории алгебраических чисел, теории идеалов, алгебраической геометрии и математики в целом: попытки её доказательства приводили к открытию новых методов, обогативших многие смежные области математики.

2. Метод бесконечного спуска. Вот цитата из письма П. Ферма к Каркави от августа 1659 года: “Поскольку обычные методы, которые изложены в книгах, недостаточны для доказательства столь трудных предложений, я нашел совершенно особый путь для того, чтобы достичь этого. Я назвал этот способ доказательства бесконечным (infinie) или неопределенным (indefinie) спуском; в начале я пользовался им только для доказательства отрицательных предложений:

• что не существует числа, меньшего на единицу кратного трёх, которое составлялось бы из квадрата и утроенного квадрата;

• что не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь которого была бы квадратным числом.

Доказательство проводится путём приведения к абсурду таким способом: если бы существовал какой-нибудь прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством.

Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы в силу подобного рассуждения третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности.

Но если задано число, то не существует бесконечности, по спуску меньших его (все время подразумеваются целые число). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью”.

Этот метод бесконечного или неопределенного спуска действительно сделался одним из наиболее мощных средств диофантова анализа.

После П. Ферма его с успехом применяли Л. Эйлер и Л. Лагранж, а в наши дни – Л. Дж. Морделл, А. Вейль и другие. При этом метод был распространен на проблемы решения уравнения в рациональных числах. Осуществить метод спуска в общем случае теоремы Ферма мешает неединственность разложения целых чисел алгебраических колец в произведение простых сомножителей из того же кольца.

Проиллюстрируем суть метода бесконечного спуска простыми примерами.

Примеры: 1. Докажем, что – иррациональное число.

Предположим противное, т.е. что , где p, q  N. Тогда имеем q = p, 2q² = p², откуда видно, что p чётно: p = 2p₁ (p₁  Z). Поэтому q² = 2p₁², и теперь q чётно: q = 2q₁ (q₁  Z). Кроме того, . Таким образом, начав с пары таких натуральных чисел (p; q), что , получили новую пару натуральных чисел(p₁ ; q₁) , где p₁ < p, q₁ < q, с тем же свойством. Точно так же по этой паре найдём пару (p₂ ; q₂), где p₂ < p₁ , q₂ < q₁ , и этот процесс построения новых пар можно продолжать беско­нечно. Однако убывающая цепочка натуральных чисел p > p₁ > p₂ > … бесконечной быть не может. Полученное противоречие доказывает, что предположение о рациональности числа было неверно.

2. Докажем, что диофантово уравнение x² + y² = 3z² имеет только тривиальное решение x = y = z = 0.

Предположим, вопреки доказываемому, что (x; y; z) – нетривиальное решение. Тогда x и y делятся на 3. Действительно, рассматривая уравнение по модулю 3, получим сравнение x² + y²  0 (mod 3), которое выполнено только при x  0  y (mod 3), в чём легко убедиться, перебрав возможные значения x, y  {0, 1, 2}.

Теперь x = 3x₁ , y = 3y₁ и 3(x₁² + y₁²) = z² , значит, z = 3z₁ . Поэтому x₁² + y₁² = 3z₁². Таким образом, начиная с нетривиального решения (x; y; z), получили новое нетривиальное решение (x₁ ; y₁ ; z₁ ), причём |x₁| < |x| , |y₁| < |y| , |z₁| < |z| . По этому решению можно построить новое нетриви­альное решение (x₂ ; y₂ ; z₂ ), где |x₂| < |x₁| , |y₂| < |y₁| , |z₂| < |z₁| , и этот процесс можно продолжать бесконечно. Однако убывающая цепочка натуральных чисел |x| > |x₁| > |x₂| > … не может быть бесконечной. Полученное противоречие показывает, что предположение о существовании нетривиального решения уравнения x² + y² = 3z² было неверным.

3. Проблема Ферма для показателя n = 4. Дадим короткое доказательство, использующее классификацию пифагоровых троек.

Теорема (о диофантовом уравнении x⁴ + y⁴ = z²). Диофантово уравнение x⁴ + y⁴ = z² не имеет решений в натуральных числах. В частности, не имеет решений в натуральных числах и уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴.

Доказательство. Пусть (x; y; z) – натуральное решение, т.е. x, y, z  N. Если D = НОД(x, y) > 1, то для любого простого числа p, входящего в каноническое разложение D , число p⁴ входит в разложение z², а значит, p² входит в разложение z. Поэтому равенство x⁴ + y⁴ = z² можно последовательно сокращать на p⁴ , не нарушая вида этого равенства. Таким образом, через несколько шагов придём к аналогичному соотношению со взаимно простыми числами x, y.

Если НОД(x, y) = 1, то НОД(x, z) = 1 = НОД(y, z). Действительно, если, например, x и z делятся на некоторое простое число, то на это число делится и y⁴, а значит, y вопреки условию НОД(x, y) = 1. Таким образом, можно считать, что (x; y; z) – примитивное решение уравнения, т.е. все числа x, y, z попарно взаимно просты.

Если (x; y; z) –примитивное решение диофантова уравнения x⁴ + y⁴ = z² в натуральных числах, то (x²; y²; z) – пифагорова тройка. Следовательно, она имеет один из следующих видов:

,

где u, v – взаимно простые целые числа разной чётности.

Рассмотрим только первую возможность, когда y нечётно, т.к. во втором случае всё аналогично. Тогда y² + v² = u², т.е. (y; v; u) – тоже пифагорова тройка, причём примитивная, т.к. u, v взаимно простые числа. Значит, y = s² – t², v = 2st, u = s² + t² для некоторых взаимно простых натуральных чисел s, t. Поэтому из x² = 4st(s² + t²) следует x = 2x₁ и x₁² = st(s² + t²), причём числа st и s² + t² взаимно просты: если простое число p – их общий делитель, то p | s или p | t и p | (s² + t²), откуда по свойствам делимости p – общий делитель взаимно простых чисел s, t, что невозможно. Следовательно, по следствию из основной теоремы арифметики, s² + t² = b², st = a² , и далее s = m² , t = n² и m⁴ + n⁴ = b². Таким образом, по примитивному решению (x; y; z) построено новое примитивное решение (m; n; b), причём b < x₁² < z, т.е. реализован метод бесконечного спуска.

Итак, диофантово уравнение x⁴ + y⁴ = z² не имеет нетривиальных решений, а значит, их не имеет и уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴.

Теорема доказана.