Введение
Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений
(0.1)
с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].
Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) - аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.
(0.2)
Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(0.3)
В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:
x3+1x2y+1xy2+1y3+2x2+2xy+2y2+3x+3y+=0, (0.4)
mx+ny+p=0 (0.5)
в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.
Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.
- Введение
- 1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
- 1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
- 1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
- 1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
- 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
- 2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости
- 2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
- 2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
- ЗАКЛЮЧЕНИЕ