1. Математическая обработка опытной информации

Цель работы: Освоить математическую обработку и графическое изображение опытной информации.

Определить средний доремонтный ресурс двигателя А-41и количество двигателей, которые потребуют ремонта с начала эксплуатации и до конца третьего интервала статистического ряда.

Составим сводную таблицу исходной информации в порядке возрастания показателей надежности.

Составим статистический ряд исходной информации

где t_к - конечное или максимальное значение показателей надежности;

t_см - величина смещения;

А - величина интервала статистического ряда.

Таблица 1 - Статистический ряд исходной информации

Опытная вероятность определяется по формуле:

где m_i - опытная частота i-того интервала статистического ряда;

N - количество испытуемых двигателей.

Определяем среднее значение показателя надежности и абсолютную характеристику рассеивания - среднее квадратическое отклонение.

где n - количество интервалов статистического ряда t_iс - значение среднего i-го интервала. Р_опi - опытная вероятность i-го интервала.

Проверим опытную информацию на выпадающие точки. Проверку производим по правилу:

+ 3у =2561 + 1944 = 4594 мото-ч;

- 3у = 2561 - 1944 = 707 мото-ч.

Поскольку в границы обозначенные выражением входит вся имеющаяся опытная совокупность, то все точки данной совокупности являются достоверными

Графическое изображение опытного распределения показателя надежности.

Строим гистограмму, полигон и кривую накопленных вероятностей.

Определение относительной характеристики рассеивания показателя надежности, коэффициента вариации.

Выбор теоретического закона распределения, определение его параметров и графическое изображение дифференциальной и интегральной кривых.

Поскольку расчетное значение коэффициента вариации V превышает 0,33, то предпочтение отдаем закону распределения Вейбулла.

Уравнения, предопределяющие характер протекания дифференциальной и интегральной кривых

где а, b - параметры распределения Вейбулла.

где t - конечное значение i-го интервала.

Однако пользоваться данными уравнениями не представляется возможным, поскольку неизвестны параметры распределения Вейбулла «a» и «b».

Графический метод

где m_i - опытная частота

b - параметр Вейбулла: b = 2…3,5.

Задаемся значениями «b» и при каждом из них определяем соответствующее значение y₁ и y₂.

b = 2,0y₁ = 267y₂ = 265

b = 2,5y₁ =264y₂ = 268

b = 3,0y₁ = 262y₂ = 270

b = 3,5y₁ = 260y₂ = 272

Значения y₁ и y₂ соответственно равны:

По полученным значениям у₁ и у₂ строим графики, проекция точки пересечения кривых у₁ и у₂ на ось абсцисс будет являться искомым значением параметра b.

b = 2,1

Примем b = 2

Найдем недостающий параметр «а» из уравнения:

математический надежность вариация усеченный

где N - количество испытуемых двигателей

b = 2,1;

a = 2743 мото-ч

Функция плотности вероятности закона распределения Вейбулла табулирована в таблице.

Функция распределения F(t) табулирована в таблице.

Проверка совпадения опытного и теоретического распределения по критерию согласия:

где m_тi - теоретическая частота.

Определяем теоретическую частоту появления события в пределах каждого интервала статистического ряда:

где N - количество машин в совокупности или повторности информации;

F(ti+1) и F(ti) - смежные или рядом стоящие точки накопленной информации.

Используя, критерий согласия можно определить вероятность совпадения опытного и теоретического распределения показателя надежности, используя данные таблицы 7. Для входа в таблицу необходимо определить число степеней свободы, которое определяется по уравнению:

;

где n - число интервалов статистического ряда,

k - число обязательных связей.

По таблице 7 по пятой строке ищем вероятность совпадения опытного и теоретического распределения показателя надежности.

Вероятность совпадения опытного и теоретического распределений составляет примерно 15%.

Определяем доверительные границы рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности, а также наибольшее возможное значение абсолютной и относительной погрешности.

Для одиночного значения:

Для определения коэффициента Стьюдента t_б задаемся величиной доверительной вероятности, тогда б = 0,80 и N/б = 36/0.80 = 45. Используя таблицу 10, получим t_б = 1.3.

где Н_k - значение квантиля при соответствующем параметре «b»

Для среднего значения:

где r₁ и r₃ коэффициенты Вейбулла, зависящие от величины доверительной вероятности и повторности информации

b - параметр распределения Вейбулла

r₁ = 1.15; r₃ = 0.88;

Определяем наибольшую возможную относительную ошибку:

Ответ: В результате математической обработки опытной информации по показателям надежности двигателей А - 41, установлено, что опытное распределение показателей надежности подчинено закону распределения Вейбулла с коэффициентом вариации V = 0,46 при, среднем значении показателя надежности 2651 мото-ч и среднем квадратическом отклонении у = 648 мото-ч. Вероятность совпадения опытного и теоретического распределений составляет примерно 15%. Доверительные границы рассеивания одиночного и среднего значений показателя надежности соответственно равны:

Величина абсолютной ошибки составляет I_б = 184 мото-ч.,

относительная предельная ошибка при, доверительной вероятности б = 0,80, равна 6,9% .

Графические изображения дифференциальной и интегральной кривой прилагаются.

2. Графический метод обработки информации по показателям надежности

При изготовлении вероятностной бумаги Вейбулла - Гнеденко выбираем миллиметровую бумагу. С этой целью на обе оси наносим точки, соответствующие значениям логарифмов нормального ряда чисел от 10° до 10¹ по оси ординат и от 10° до 10² по оси абсцисс. Если мантиссы учитываем с точностью до 2 знака и выбираем масштаб 1:1 (единица мантиссы соответствует 1 мм на чертеже). Эти точки будут отстоять от начала координат на следующих расстояниях:

Т₂ - 30 мм

Т₃ - 48 мм

Т₄ - 60 мм

Т₅ - 70 мм

Т₆ - 78 мм

Т₇ - 85 мм

Т₈ - 90 мм

Т₉ - 95 мм

Т₁₀ - 100 мм

Последняя точка будет отстоять от начала координат на расстоянии 200 мм.

Откладываем значения нормированных квантилей распределения Вейбулла при параметре b = 2 (табл. 9) напротив квантилей пишем цифру, обозначающую величину соответствующей функции отказности F(t). Значение второй точки F(t) = 0.02 со значением квантиля Н_{к/ a}=0,143, будет совпадать с точкой оси ординат 1,43. Значение F(t) = 0,1 со значением квантиля Н_к/a= 3,25 логарифмической шкалы и т.д. до значений F(t) = 0,99 которое совпадает с точкой 21,5 логарифмической шкалы оси ординат. При выбранном масштабе в т. F(t) = 0,632 отстает от начала отсчета на расстоянии 100 мм, а поэтому все остальные точки отстают на величину квантиля умноженного на 10. Отличительной особенностью функциональной сетки вероятностной бумаги является то, что по ней определяют не характеристики рассеивания показателей надежности, а параметры Вейбулла (a, b). Для определения параметров “а” и “b” на функциональную сетку наносим вспомогательную ось координат, которая размечается в единицах параметра “b”. Для построения вспомогательной оси координат и проведения дальнейших расчетов на функциональную сетку наносим главную ординату с абсциссой в т. 10¹- Б, и главную абсциссу с ординатой 0,632 и точкой А на главной оси абсцисс с абсциссой 27,2 по логарифмической шкале. Нулевой точкой вспомогательной оси координат является точка ее пересечения с главной абсциссой. При выбранном масштабе (М 1:1) т. F(t) = 0,632 отсчета от начала отсчета на расстоянии 100 мм. Значение b = 0.5 отстоит от начала отсчета вспомогательной оси координат на расстоянии 11 мм, b = 1,0 на расстояние 22 мм, и т.д. Для проверки правильности построения функциональной сетки, необходимо точку начала координат соединить с точкой Б прямой пунктирной линией(10⁰-Б - пунктирная линия) далее через точку А проводим пунктирную линию параллельную 10⁰- Б до пересечения с главной ординатой 10¹- Б и точку пересечения проецируем на вспомогательную ось. Если проекция совпадает со значением b=2,0, то построение произведено, верно.

Производим расчет параметров распределения и определим характеристики рассеивания ресурса двигателя А-41, установленного на трактор ДТ-75М, пользуясь вероятностной бумагой Вейбулла-Гнеденко.

Таблица 2 - Статистический ряд информации по доремонтным ресурсам двигателей.

Принимаем величину смещения 1236 мото-ч.

Как видно из статистического ряда, испытания проводились по плану (N,U,N) и из общего количества N=32 вышло из строя N₀=32

Наносим на сетку значение накопленных опытных вероятностей по концам интервалов статистического ряда (см. рисунок 3).

По нанесенным точкам проводим прямую МN.

Определяем абсциссу точки пересечения прямой MN с главной абсциссой БА. Проекция точки пересечения на оси абсцисс является значением параметра а =2715 мото-ч.

Определяем параметр Вейбулла “b”. Для этого через точку А, находящуюся на главной абсциссе проведем прямую MN Р Р МN точки пересечения MN c главной ординатой 10 - Б проецируем на вспомогательную ось ординат и по ее шкале определяем искомое значение параметра b.

Определяем значение вспомогательных коэффициентов Вейбулла К_b и С_b.

К_b = 0,886

Определяем средний ресурс двигателя с учетом величины смещения

Определяем среднее квадратическое отклонение

Определяем значение коэффициента вариации