Введение

Если учащийся не переживает радости

поиска и находок, не ощущает живого

процесса становления идей, то ему редко

удается достичь ясного понимания всех

обстоятельств, которые позволили избрать

именно этот, а не какой-нибудь другой путь.

Даже самый превосходный торт вряд ли доставит вам удовольствие, если кто-то его предварительно пожует. Так же и самое интересное математическое задание можно испортить, преждевременно показав его решение. Правда, и в том, что «видит око, да зуб неймёт», мало радости: от задания, решение которого вы никогда не узнаете, немного проку.

В своей учебно-практической работе я самостоятельно исследовала основные методы решения линейных, квадратных, рациональных и нестандартных неравенств с модулем. Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются неравенства с модулем, так как на уроках им уделяют достаточно мало внимания. Выше изложенное обусловило проблему исследования: научиться решению неравенств, используя при этом основные методы решения неравенств различных видов.

Объектом исследования является процесс решения неравенств, встречающихся в 8-9 классах в учебнике алгебры и в материалах централизованного тестирования.

Предмет исследования: различные виды неравенств и методы их решения.

Целью работы является разработка методов решения линейных, квадратных, рациональных и неравенств с модулем.

Гипотеза исследования: освоение умений различать основные виды неравенств, применять необходимые приемы и методы их решения, выбирать наиболее рациональный способ решения, применять разные способы решения, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.

1 Теоретические сведения о числовых неравенствах

Неравенства вида , где и - числа (числовые выражения), называются числовыми.

Неравенства вида , где - линейные функции, называются неравенствами с одной переменной.

Неравенства, содержащие знаки или называют строгими, а содержащие знаки или - нестрогими.

Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадает. В частности, равносильны все неравенства, не имеющие решений.

Свойства числовых неравенств:

1. .

2.

3. - к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.

4. - можно переносить слагаемые из одной части в другую, меняя их знак на противоположный.

5. и - два неравенства с одинаковым знаком можно почленно складывать.

6. Умножая (деля) обе части неравенства на положительное число, знак неравенства сохраняют.

7. Умножая (деля) обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный.

8. и - два неравенства с одинаковым знаком, образованные неотрицательными числами, можно почленно умножать.

9. .

10. и .

Теоремы о равносильности неравенств с переменными

1.

2. если имеет смысл в области определения неравенства

3. еслидля всех значенийиз области определения

4. еслидля всех значенийиз области определения .

5. .

5*. где принимает только положительные значения (следствие).

6. где

6*. (следствие).