1.4 Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть дифференцируема на множестве Х (то есть, дифференцируема в каждой точке этого множества). Тогда на множестве Х определена функция . Если функция дифференцируема на Х, то говорят, что функция дважды дифференцируема на Х и производная от функции называется производной второго порядка функции , то есть , а дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка функции :
.
Если х независимая переменная, то
и
Производную от производной второго порядка называют третьей производной функции :
,
а
Этот процесс можно продолжать и дальше.
Пример 1.8 Найти вторую производную функции
в точке
Решение. Найдем сначала первую производную заданной функции. Так как требуется найти вторую производную , то полученную первую производную нужно будет продифференцировать еще раз. Чтобы это было сделать проще, необходимо упростить.
Подставим в полученную вторую производную, получим:
Пример 1.9 Найти дифференциал второго порядка функции
Решение
.
Тогда .
- 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
- 1.1 Основные определения и теоремы
- 1.2 Техника дифференцирования
- 1.3 Дифференциал функции
- 1.4 Производные и дифференциалы высших порядков
- 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
- 2.1 Применение производных к вычислению пределов.
- 2.2 Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума
- 2.3 Исследование функции на направление выпуклости и точки перегиба
- 2.4 Задачи на наибольшее и наименьшее значения
- 3. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЭСКИЗА ЕЕ ГРАФИКА
- 3.1 Асимптоты графика функции
- 3.2 Полное исследование функции
- Литература
- Что такое производная? Определение и смысл производной функции
- Тема 2.4. Приложения производной
- 8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- Производная функции и её приложения
- Тема 4. Приложения производной
- Производные различных функций
- Приложение производной к исследованию функций.
- Лекция 6. Приложения производной к исследованию функций
- 1. Производная функции