logo
Решение дифференциальных уравнений по методу Эйлера

2.3 Модифицированный метод Эйлера

Этот метод более точен. Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участке [x0,x0+h] интегральную кривую заменим прямой линией. Получаем точку Мк(хк,ук). (рис. 3)

Y

Nk/ y=y(x)

Мк Мк/

Yk+1

Yk

хк хк1/2 xk+h=xk1 X

Рисунок 3.

Через Мк проводим касательную: y=yк=f(xk,yk)(x-xk). Делим отрезок (xк,xк1) пополам:

xh+k/=xk+h/2=xk+1/2 (9)

yh+k/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2 (10)

Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:

y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=бk (11)

Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом бк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой xк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:

yк+1=yк+бкh

xk+1=xk+h

бk=f(xk+h/2, xk+f(xk,yk)h/2) (12)

yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h

Эти формулы называются рекуррентными формулами метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции yк+1/2 в точках xк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке

y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют yк+1.

3. Блок-схема алгоритма

где A -- начальное значение x, B -- конечное значение x, F(x) -- значение функции в точке xn, N -- количество промежутков, st - выбор операции, C1,C2,C3 - константы для формул, nom - сохраняет номер используемой функции.

На рисунке представлена блок-схема процесса решения дифференциального уравнения методом Эйлера

Подсчитывая каждый раз новое значение уравнения F(x), получаем последовательность значений xn yn, n=1,2,…

По этим значениям строим график.