Основные понятия

Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид:

,

где (), - числа.

называются коэффициентами уравнения, называется свободным членом. Если , то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным.

В этом параграфе мы будем рассматривать систему линейных уравнений с неизвестными, т.е. систему вида:

(1)

Обозначим через А и А* следующие матрицы:

и .

Матрицу А называют основной матрицей системы (1), а матрицу А* - расширенной матрицей системы (1).

Пусть X - матрица-столбец неизвестных, B - матрица-столбец свободных членов, т.е.

и .

Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения A*X = B. Его называют матричной формой системы (1).

Упорядоченный набор чисел называется решением системы (1), если он обращает в тождество каждое уравнение системы. Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Если система совместна, то она имеет либо одно решение, либо множество решений. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая множество решение, называется неопределенной.

Критерии совместности и определенности системы дают следующие две теоремы.

ТЕОРЕМА (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

.

ТЕОРЕМА (критерий единственности решения). Система линейных уравнений (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е.

.