1.1 Основные понятия теории упругости

В данном пункте получим классические уравнения деформирования в предположении, что среда эта - сплошная, однородная и изотропная, т.е. упругие свойства среды во всех направлениях одинаковы. Будем считать, что она линейно деформируема (для материала среды справедлив закон Гука), а перемещения и деформации тела достаточно малы.

При составлении уравнений механики деформируемого твёрдого тела выбирается соответствующая система координат. В зависимости от формы тела используются декартовые, полярные, цилиндрические координаты и другие.

При решении полной задачи удобно использовать полярную систему координат, в которой положение каждой точки определяется координатами r и (рис. 1.1).

Линейная дуговая координата s и угол связаны зависимостью , откуда следует соотношение между их дифференциалами.

Рассматриваемое тело находится под действием поверхностных нагрузок. В результате чего в теле появляются напряжения, которые, также как и поверхностные нагрузки, характеризуются интенсивностями. Под действием внешних нагрузок точки тела перемещаются в пространстве. Например, точка после деформации заняла положение . Полное перемещение зададим двумя компонентами: - в радиальном направлении, - в тангенциальном.

Для получения уравнений в полярной системе ординат мысленно выделим в окрестности некоторой точки тела элемент , , 1 (рис. 1.2).

На гранях этого элемента действуют напряжения, которые можно разложить на нормальную составляющую к грани (нормальное напряжение - , ) и касательную (касательное напряжение - , ).