§ 1. Группы. Различные определения. Примеры

Определение 1. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если А - полугруппа, в которой каждый элемент имеет нейтрализующий.

Определение 2. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если бинарная операция "*" ассоциативна и обратима на множестве А.

Определение 3. Алгебраическая система <A,*> называется группой, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) операция "*" ассоциативна;

2) существует нейтральный элемент е такой, что A * e = e * A = A;

3) для любого элемента а А существует обратный или нейтрализующий элемент б такой, что

а * б = б * а = е.

Определение 4. Группа <А, *> называется коммутативной или абелевой, если бинарная операция "*" коммутативна на множестве А.

Определение 5. Группа <А, *> называется конечной, если количество ее элементов конечно, и бесконечной, если количество ее элементов бесконечно.

Количество элементов конечной группы называется ее порядком.

Важные примеры групп:

1. Полная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).

<GL_n (P),. >, где GL_n (P) = { (a_ij) _nЧn: det (a_ij) ?0, a_ij P, i,j = }

2. Специальная линейная группа n-ой степени над полем Р (Р = Q, R, C).

<SL_n (R),. >, где SL_n (R) = { (a_ij) _nЧn: det (a_ij) = 1, a_ij R, i,j = }

3. Группа кватернионов.

<Q₈,. >, где Q₈ = {±1, ±i, ±j, ±k}, i² = j² = k² = - 1; ij = k, ki = j, jk = i, ji = - k, ik = - j, kj = - i, конечная группа 8-го порядка.

4. Группа преобразований.

< ?>, где _- множество обратимых преобразований множества А,

А ?, "°" - суперпозиция (произведение, композиция) преобразований.

5. Группа подстановок n-ой степени или симметрическая группа <S_n,°> подстановок n-ой степени, где S_{n -} множество подстановок n-ой степени.

6. Знакопеременная группа <A_n,°> подстановок n-ой степени, где A_{n -} множество четных подстановок n-ой степени, A_n S_n, "°" - суперпозиция подстановок.

7. Четверная группа Клейна.

<V,°>,

где V = {e, a, b, c} A₄ S₄, A₄ - знакопеременная группа подстановок 4-ой степени, S₄ - симметрическая группа подстановок 4-ой степени.

8. Группа остатков по данному модулю или группа вычетов по данному модулю, или группа классов вычетов по данному модулю.