УМКД алгебра, 2курс

Циклические группы

Определение 6. Группа G называется циклической, если она состоит из степеней одного из своих элементов а, т.е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп (а).

Элемент а называется образующим элементом циклической группы (а). Каждая циклическая группа абелева, т.к.

Пример 1. – бесконечно циклическая группа. Её образующий элемент – число 1. Образующим элементом этой группы является, очевидно, n-1.

Пример 2. Мультипликативная группа n-й степени из 1 является циклической группой порядка n. Действительно, корни n-й степени из 1 находятся по формуле:

По формуле Муавра

Т.о. каждый корень n-й степени из 1 является определенной степенью корня ₁ и, следовательно, группа n-й степени из 1 является циклической группой ( ₁), образующим элементом которой является

Теорема 7. Каждая бесконечная циклическая группа изоморфизма аддитивной группы целых чисел Z.

□ Пусть G=(a) – произвольная циклическая бесконечная группа с образующим элементом а. Каждому элементу а^k группы G поставим в соответствие элемента R Z. Этим, очевидно, будет задано взаимно однозначное отображение G на Z. Это отображение является изоморфизмом, т.к. из а^k и а^s S следует, что ■

Теорема 8. Каждая циклическая группа порядка n изоморфна мультипликативной группе корней n-й степени из 1.

□ Пусть G = (a) – произвольная циклическая группа порядка n с образующим элементом а. Она состоит из следующих элементов: Мультипликативная группа корней n - й степени из 1 состоит из корней

Рассмотрим отображение f, заданное по правилу . Очевидно, что из следует, что ■

Из теоремы 7 и 8 следует, что аддитивной группой целых чисел и мультипликативной группой корней n-й степени из 1 по существу исчерпываются все циклические группы.

Теорема 9. Каждая группа циклической группы сама циклическая.

□ Пусть G = (a) – произвольно циклическая группы и H – некоторая ее подгруппа. Будем считать, что Н отлична от единичной подгруппы Е, в противном случае не надо доказывать, что она циклическая.

Среди положительных степеней элемента а, которые содержатся в Н, существует наименьшая, т.к. в произвольном множестве натуральных чисел всегда есть наименьшее. Пусть этой наименьшей положительной степенью является а^к. Покажем, что если , то l делится на k. Действительно, Если r>0, то в подгруппе Н содержится элемент , т.е. содержится положительная степень элемента а, меньшая чем а^k, что противоречит нашему предположению. Следовательно, r=0 и k делится на k.■

Содержание