Способы решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

4. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Все вышеперечисленные способы подробно разобраны в учебнике, поэтому на них я не буду останавливаться.

5. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Приведённые квадратные уравнения легко решать по теореме Виета. Достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным знаком.

Например, для уравнения x²-7x+12=0 Нужно найти числа, произведение которых равно 12, а сумма 7. Такими числами будут 3 и 4. Значит x₁=3, x₂=4

Но можно использовать этот метод и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице. Поясним на примере.

Допустим, нужно решить уравнение 3x²+2x-5=0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x²+2x-15=0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно - 15, а сумма равна - 2. Эти числа - 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент. Таким образом x₁=-5/3, x₂=1

6. СПОСОБ: Решение уравнений способом "переброски".

Рассмотрим квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а ? 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у² + by + ас = 0,равносильно данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х₁ = у₁/а и х₁ = у₂/а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х² - 11х + 15 = 0.

Решение. "Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у² - 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

у₁ = 5 х₁ = 5/2 x₁ = 2,5

у₂ = 6 x₂ = 6/2 x₂ = 3.

Ответ: х₁=2,5; х₂= 3.

7. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, а ? 0.

1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х₁ = 1, х₂ = .

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х₁ = - 1, х₂ = - .

1. Решим уравнение 345х^{2 -} 137х - 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то х₁ = 1, х₂ = = . Ответ: х₁₌1; х_{2 =} - .

2. Решим уравнение 132х² + 247х + 115 = 0

Решение. Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115=0), то

х₁= - 1, х₂= - Ответ: х₁₌ - 1; х₂₌ -

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х_1; 0) и D (х_2; 0), где х₁ и х₂ - корни уравнения ах² + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;

1) и С (0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ•ОD = ОА • ОС, откуда

ОС = .

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

SK = , SF = .

Итак:

1) построим точки S (; ) (центр окружности) и А (0;

2) 1);

3) проведем окружность с радиусом SA;

4) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. а) B (х_1; 0) и D (х_2; 0), где

х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох (рис. б) в точке B (х_1; 0), где

х_{1 -} корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.

1. Решим уравнение х^{2 -} 2х - 3 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х = -

у = =

Проведем окружность радиуса S A, где А (0;

1).Ответ: х₁ = - 1, х₂ = 3.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - м., просвещение).

Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

ОВ = ,

АВ =

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию

,

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

1. Для уравнения z^{2 -} 9z + 8 = 0. Номограмма дает корни z₁ = 8 и z₂ = 1 (рис.12).

2. Решим с помощью номограммы уравнение 2z^{2 -} 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z^{2 -} 4,5 +1=0.

Номограмма дает корни z₁ = 4 и z₂ = 0,5.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из "Алгебры" ал-Хорезми.

Решим уравнение х² + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: "Квадрат и десять корней равны 39".

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2, следовательно, площадь каждого равна 2. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6

D x C

A x B

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников

(4 • 2 = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6), т.е.

S = х² + 10х = 25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 - 2 - 2 = 3.

11. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

При делении P (х) на х- в остатке может получиться лишь некоторое число r (если r = 0, то деление выполняется без остатка): P (x) = (x - ) Q (x) + r. (1)

Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х = . При этом двучлен х - обращается в нуль, получаем, что P () = r.

Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.

Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен х - равен P () (т.е. значению P (x) при х = ).

Если число является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на х - без остатка.

хІ-4х+3=0

Р₂ (х) = хІ-4х+3

б; ±1,±3. б =1, 1-4+3=0

Разделим р (х) на (х-1)

(хІ-4х+3) / (х-1) =х-3

хІ-4х+3= (х-1) (х-3)

(х-1) (х-3) =0

<=> х-1=0; х₁=1, или х-3=0, х₂=3; Ответ: х₁=1, х₂=3.